Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
3\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\frac{dy}{dx} + y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Associe à equação diferencial a equação característica substituindo y\mapsto e^{r x}. Isso gera
3r^{2} + 2r + 1 = 0.

Passo 3

Calcule o discriminante dessa quadrática:
\Delta = 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 < 0.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Em forma exata,
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2\cdot 3} = \frac{-2 \pm 2\,i\sqrt{2}}{6} = -\frac{1}{3} \pm \frac{i\sqrt{2}}{3}.
Chamamos \alpha = -\tfrac13 e \beta = \tfrac{\sqrt2}{3}.

Passo 4

Para raízes da forma \alpha\pm i\beta, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x) + C_{2}\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha e \beta, obtemos a forma final da solução.

Resposta

y(x) = e^{-\tfrac{x}{3}}\!\bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados