Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}-y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral para a equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 4 \frac{dy}{dx} - y = 0.
Esse é um caso de EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos associar um polinômio característico, encontrar suas raízes e, a partir delas, montar a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{r x}. Substituindo na equação diferencial, temos
r^{2}e^{r x} + 4r\,e^{r x} - e^{r x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} + 4r - 1 = 0,
que é o polinômio característico.

Passo 3

Resolvendo
r^{2} + 4r - 1 = 0
pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta = 4^{2} - 4\cdot1\cdot(-1) = 16 + 4 = 20
e as raízes são
r_{1} = \frac{-4 + \sqrt{20}}{2} = -2 + \sqrt{5}, \quad r_{2} = \frac{-4 - \sqrt{20}}{2} = -2 - \sqrt{5}.

Passo 4

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é
y(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

Resposta

y(x) = C_{1}e^{(-2+\sqrt{5})x} + C_{2}e^{(-2-\sqrt{5})x}.

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