Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
2\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 3\frac{dy}{dx} - 4y = 0.
Para resolver, usamos o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
2r^{2} - 3r - 4 = 0.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para
ar^{2}+br+c=0\quad\text{com}\;a=2,\;b=-3,\;c=-4.
O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4\cdot2\cdot(-4) = 9 + 32 = 41,
logo as raízes são
r_{1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{41}}{4}, \quad r_{2} = \frac{3 - \sqrt{41}}{4}.

Passo 4

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\exp\!\Bigl(\frac{3 + \sqrt{41}}{4}\,x\Bigr) \;+\; C_{2}\exp\!\Bigl(\frac{3 - \sqrt{41}}{4}\,x\Bigr).

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