Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
3\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0.
Para resolver este tipo de equação, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na equação diferencial, obtemos o polinômio característico
3r^{2} + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo
3r^{2} + 1 = 0
temos
r^{2} = -\frac{1}{3}
e portanto as raízes são
r = \pm \frac{i}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Como as raízes são puramente imaginárias, a solução geral é dada por combinação linear de senos e cossenos:
y(x) = C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\bigr) \;+\; C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\bigr),
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

Resposta

y(x) = C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\bigr).

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