Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \frac{dy}{dx} - 6y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica: assumimos uma solução da forma y=e^{rx} e obtemos um polinômio em r.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} na equação diferencial temos
r^2 e^{rx} - r e^{rx} - 6e^{rx} = 0
e, como e^{rx}\neq 0, decorre a equação característica
r^2 - r - 6 = 0.
Resolvendo-a pelo discriminante \Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = 25, obtemos
r = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
isto é,
r_1 = 3 \quad\text{e}\quad r_2 = -2.

Passo 3

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Substituindo r_1 e r_2, fica
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}.

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