Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear homogênea de segunda ordem
4\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}=0,
e pede a solução geral. A estratégia é usar a substituição y=e^{rx} para obter a equação característica.

Passo 2

Assumindo y=e^{rx}, temos
y'=r\,e^{rx}, \qquad y''=r^2\,e^{rx}.
Substituindo na EDO:
4r^2e^{rx}+r\,e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, cancelamos e chegamos à característica
4r^2 + r = 0.

Passo 3

Resolvendo
4r^2 + r = 0
fatoramos r(4r+1)=0, obtendo as raízes
r_1 = 0, \quad r_2 = -\tfrac14.
Como são raízes reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} = C_1 + C_2e^{-x/4}.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-x/4}.

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