Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 5\frac{dy}{dx} = 0.
O conteúdo aqui é equações diferenciais ordinárias com método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo em \;2y''-5y'=0\; obtém-se a equação característica
2r^{2}-5r=0.
Fatorando,
r\,(2r-5)=0,
logo as raízes são
r_{1}=0 \quad\text{e}\quad r_{2}=\frac{5}{2}.

Passo 3

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x} =C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{\frac{5}{2}x} =C_{1}+C_{2}e^{\frac{5}{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{\frac{5}{2}x}.

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