Os problemas seguintes envolvem equações autônomas da forma fracd yd x=f(y).
Em cada problema seguinte esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (ou soluções de equilíbrio) e classifique cada um deles como assintoticamente estável ou instável:
Justifique suas respostas
fracd yd x=y(y-1)(y-2), y0>0.

Passo 1

Beleza, o enunciado é uma EDO autônoma do tipo
dydx=f(y)com f(y)=y(y-1)(y-2)
A matéria aqui é “Equações Diferenciais Ordinárias autônomas”. A missão é:
  1. Esboçar o gráfico de f(y) versus y.
  2. Achar os pontos críticos (equilíbrios) onde f(y)=0.
  3. Classificar cada um como assintoticamente estável ou instável.
    O exercício também diz que a condição inicial y0>0, então a gente se preocupa em como a solução se comporta para y>0, mas vamos achar e classificar todos os equilíbrios mesmo assim.

Passo 2

Esboço de f(y)=y(y-1)(y-2) e tabela de sinais
  1. Raízes (pontos onde f(y)=0): y=0,;1,;2.
  2. Grau 3 com coeficiente líder positivo →
    • Para yto -infty: f(y)to -infty.
    • Para yto +infty: f(y)to +infty.
  3. Teste de sinais em cada intervalo:
    • Em y<0, por exemplo y=-1:
      f(-1)=(-1)(-2)(-3)=-6<0.
    • Em 0<y<1, por exemplo y=0.5:
      f(0.5)=0.5cdot(-0.5)cdot(-1.5)=+0.375>0.
    • Em 1<y<2, por exemplo y=1.5:
      f(1.5)=1.5cdot0.5cdot(-0.5)=-0.375<0.
    • Em y>2, por exemplo y=3:
      f(3)=3cdot2cdot1=+6>0.
      Isso dá o esboço de um cúbico cruzando o eixo em 0 subindo (de – para +), em 1 descendo (+ para –) e em 2 subindo (– para +).

Passo 3

Linha de fase e classificação de estabilidade
  1. Linha de fase: marca na reta os pontos 0,1,2 e coloca setas em cada região segundo o sinal de f(y):
    • Para y<0, f(y)<0 → seta para a esquerda (decremento de y).
    • Para 0<y<1, f(y)>0 → seta para a direita.
    • Para 1<y<2, f(y)<0 → seta para a esquerda.
    • Para y>2, f(y)>0 → seta para a direita.
  2. Definição informal de estabilidade:
    • Se, em volta de um ponto crítico, as setas apontam para ele, é assintoticamente estável (solução volta).
    • Se apontam para fora, é instável (solução é repelida).
  3. Aplicando isso:
    • Em y=0: à esquerda seta aponta para baixo (mais negativo) e à direita para cima (mais positivo) → instável.
    • Em y=1: à esquerda seta aponta para a direita (vem de baixo) e à direita aponta para a esquerda (vem de cima) → assintoticamente estável.
    • Em y=2: às costas da raiz as setas apontam para fora → instável.

Resposta

Pontos críticos (equilíbrios):
  • y=0: instável
  • y=1: assintoticamente estável
  • y=2: instável

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