Os problemas seguintes envolvem equações autônomas da forma
.
Em cada problema seguinte esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (ou soluções de equilíbrio) e classifique cada um deles como assintoticamente estável ou instável:
Justifique suas respostas
.
Em cada problema seguinte esboce o gráfico de
Justifique suas respostas
Passo 1
Beleza, o enunciado é uma EDO autônoma do tipo
A matéria aqui é “Equações Diferenciais Ordinárias autônomas”. A missão é:
- Esboçar o gráfico de
versus . - Achar os pontos críticos (equilíbrios) onde
. - Classificar cada um como assintoticamente estável ou instável.
O exercício também diz que a condição inicial, então a gente se preocupa em como a solução se comporta para , mas vamos achar e classificar todos os equilíbrios mesmo assim.
Passo 2
Esboço de
e tabela de sinais
- Raízes (pontos onde
): . - Grau 3 com coeficiente líder positivo →
- Para
: . - Para
: .
- Para
- Teste de sinais em cada intervalo:
- Em
, por exemplo :
. - Em
, por exemplo :
. - Em
, por exemplo :
. - Em
, por exemplo :
.
Isso dá o esboço de um cúbico cruzando o eixo em 0 subindo (de – para +), em 1 descendo (+ para –) e em 2 subindo (– para +).
- Em
Passo 3
Linha de fase e classificação de estabilidade
- Linha de fase: marca na reta os pontos
e coloca setas em cada região segundo o sinal de : - Para
, → seta para a esquerda (decremento de ). - Para
, → seta para a direita. - Para
, → seta para a esquerda. - Para
, → seta para a direita.
- Para
- Definição informal de estabilidade:
- Se, em volta de um ponto crítico, as setas apontam para ele, é assintoticamente estável (solução volta).
- Se apontam para fora, é instável (solução é repelida).
- Aplicando isso:
- Em
: à esquerda seta aponta para baixo (mais negativo) e à direita para cima (mais positivo) → instável. - Em
: à esquerda seta aponta para a direita (vem de baixo) e à direita aponta para a esquerda (vem de cima) → assintoticamente estável. - Em
: às costas da raiz as setas apontam para fora → instável.
- Em
Resposta
Pontos críticos (equilíbrios):
-
: instável -
: assintoticamente estável -
: instável