Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[14.]
y^{\prime}=y+t; função solução y(t)=C e^{t}-1-t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e a função candidata:
  • Equação diferencial: y'=y+t.
  • Função proposta: y(t)=C e^{t}-1-t, onde C é uma constante arbitrária.
O que o problema pede: usar diferenciação para mostrar que a função dada satisfaz a equação diferencial para todos os valores da constante C. Ou seja, verificar que, ao calcular y'(t) da função proposta, obtemos exatamente y(t)+t para todo t e qualquer C.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Derivada da exponencial: a derivada de e^{t} em relação a t é \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
  • Derivada de uma constante multiplicando uma função: \dfrac{d}{dt}\bigl(C\cdot f(t)\bigr)=C\cdot f'(t) quando C é constante.
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade): \dfrac{d}{dt}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)=f'(t)+g'(t).
  • Derivada de constantes: \dfrac{d}{dt}(\text{constante})=0.
  • Derivada de t é 1: \dfrac{d}{dt}t=1.
Vamos aplicar essas regras passo a passo à função proposta.

Passo 3

Calcular y'(t) a partir de y(t)=C e^{t}-1-t.
Primeiro aplicamos a linearidade e derivamos termo a termo:
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(C e^{t}\bigr)-\frac{d}{dt}(1)-\frac{d}{dt}(t).
Agora usamos as regras:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(C e^{t}\bigr)=C\cdot \dfrac{d}{dt}e^{t}=C e^{t}.
  • \dfrac{d}{dt}(1)=0.
  • \dfrac{d}{dt}(t)=1.
Substituindo:
y'(t)=C e^{t}-0-1=C e^{t}-1.

Passo 4

Calcular o lado direito da equação diferencial usando a própria função y(t):
y(t)+t=\bigl(C e^{t}-1-t\bigr)+t.
Ao simplificar, os termos -t e +t se cancelam:
y(t)+t=C e^{t}-1.
Comparando com o que encontramos para y'(t), temos:
y'(t)=C e^{t}-1=y(t)+t.
Portanto a igualdade da equação diferencial é satisfeita para todo t e para qualquer constante C.

Passo 5

Conclusão lógica: como ao derivar a função proposta obtivemos exatamente y(t)+t, a função y(t)=C e^{t}-1-t é de fato uma solução da equação diferencial y'=y+t para todos os valores da constante C. Isso mostra que existe uma família de soluções parametrizada por C.

Resposta

A função y(t)=C e^{t}-1-t satisfaz \,y'=y+t, para todo t e para todo C\in\mathbb{R}.

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