Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[14.]
; função solução
[14.]
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e a função candidata:
- Equação diferencial:
. - Função proposta:
, onde é uma constante arbitrária.
O que o problema pede: usar diferenciação para mostrar que a função dada satisfaz a equação diferencial para todos os valores da constante
. Ou seja, verificar que, ao calcular
da função proposta, obtemos exatamente
para todo
e qualquer
.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada da exponencial: a derivada de
em relação a é . - Derivada de uma constante multiplicando uma função:
quando é constante. - Derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade):
. - Derivada de constantes:
. - Derivada de
é : .
Vamos aplicar essas regras passo a passo à função proposta.
Passo 3
Calcular
a partir de
.
Primeiro aplicamos a linearidade e derivamos termo a termo:
Agora usamos as regras:
-
. -
. -
.
Substituindo:
Passo 4
Calcular o lado direito da equação diferencial usando a própria função
:
Ao simplificar, os termos
e
se cancelam:
Comparando com o que encontramos para
, temos:
Portanto a igualdade da equação diferencial é satisfeita para todo
e para qualquer constante
.
Passo 5
Conclusão lógica: como ao derivar a função proposta obtivemos exatamente
, a função
é de fato uma solução da equação diferencial
para todos os valores da constante
. Isso mostra que existe uma família de soluções parametrizada por
.
Resposta
A função
satisfaz
, para todo
e para todo
.