Nos problemas a seguir apresentarei um conjunto munido com as operações adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são justifique utilizando a condição da definição que não é satisfeita.
W=(ccx & y z & t) in M(2,2) ; y=-x x, y, z, t in R, munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = x & y z & tin M(2,2)mid y = -x
munido das operações usuais é um espaço vetorial. O conteúdo aqui é subespaço de M(2,2) e vamos usar a definição de espaço vetorial: checar se W contém o vetor zero, se é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero de M(2,2), que é
0 = 0 & 0 0 & 0
Nesse caso temos x=0 e y=0, e de fato y=-x porque 0=-0. Logo 0in W.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam
A = x1 & -x1 z1 & t1, B = x2 & -x2 z2 & t2
elementos de W. Então
A + B = x1+x2 & -x1 - x2 z1+z2 & t1+t2
Aqui o elemento no lugar de y é -x1 - x2, que é exatamente o negativo de x1+x2. Portanto A+Bin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja alphainR e
A = x & -x z & tin W
Então
alpha A = alpha x & -alpha x alpha z & alpha t,
onde o segundo elemento -alpha x é o negativo de alpha x. Logo alpha Ain W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e também sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de M(2,2).

Resposta

W é um espaço vetorial (subespaço de M(2,2)).

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