Nos problemas a seguir apresentarei um conjunto munido com as operações adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são justifique utilizando a condição da definição que não é satisfeita. , munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
munido das operações usuais é um espaço vetorial. O conteúdo aqui é subespaço de e vamos usar a definição de espaço vetorial: checar se contém o vetor zero, se é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero de , que é
Nesse caso temos x=0 e y=0, e de fato y=-x porque 0=-0. Logo 0in W.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
A = x1 & -x1 z1 & t1, B = x2 & -x2 z2 & t2
elementos de W. Então
A + B = x1+x2 & -x1 - x2 z1+z2 & t1+t2
Aqui o elemento no lugar de y é -x1 - x2, que é exatamente o negativo de x1+x2. Portanto A+Bin W.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: seja alphainR e
A = x & -x z & tin W
Então
alpha A = alpha x & -alpha x alpha z & alpha t,
onde o segundo elemento -alpha x é o negativo de alpha x. Logo alpha Ain W.
Passo 5
Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e também sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de M(2,2).