Nos problemas a seguir calcule
d wd t
de duas maneiras: primeiro, usando a regra da cadeia e obtendo o resultado em função de t; em seguida substituindo e depois derivando.
(w(x, y)=\frac{3 x y}{x{2}-y{2}}
x(t)=t^2, y(t)=3 t

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular dwdt para w(x,y)=3xyx^2-y^2 com as funções x(t)=t^2 e y(t)=3t. Vamos usar derivadas parciais, regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de w em relação a x e y usando regra do quociente. Definindo N=3xy e D=x^2-y^2:
wx=NxD-NDxD^2=3y(x^2-y^2)-3xycdot2x(x^2-y^2)^2=-3y(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2,
$$w_y=\frac{N_yD-ND_y}{D2}=\frac{3x(x2-y2)-3xy\cdot(-2y)}{(x2-y2)2}=\frac{3x(x2+y2)}{(x2-y2)^2}.
$$

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia:
dwdt=wx,x'(t)+wy,y'(t)
Como x'(t)=2t e y'(t)=3, substituímos e simplificamos:
$$\frac{dw}{dt}= -\frac{3y(x2+y2)}{(x2-y2)2}\cdot2t+\frac{3x(x2+y2)}{(x2-y2)2}\cdot3
= -\frac{9t2(t4+9t2)}{(t4-9t2)2}+\frac{9t2(t4+9t2)}{(t4-9t2)2}
= -\frac{9(t2+9)}{(t2-9)^2}.
$$

Passo 4

Agora calculamos w(t) diretamente substituindo antes e depois derivamos. Temos
w(t)=3,t^2cdot3tt^4-9t^2=9t^3t^2(t^2-9)=9tt^2-9
Derivando usando regra do quociente:
w'(t)=9(t^2-9)-9tcdot2t(t^2-9)^2=-9(t^2+9)(t^2-9)^2

Passo 5

Observamos que ambas as maneiras levam ao mesmo resultado para dwdt, confirmando a consistência dos métodos.

Resposta

-9dfract^2+9(t^2-9)^2

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