Nos problemas a seguir calcule
de duas maneiras: primeiro, usando a regra da cadeia e obtendo o resultado em função de
; em seguida substituindo e depois derivando.
(w(x, y)=\frac{3 x y}{x{2}-y{2}}
(w(x, y)=\frac{3 x y}{x{2}-y{2}}
Passo 1
Nesse exercício, queremos calcular
para
com as funções
e
. Vamos usar derivadas parciais, regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
usando regra do quociente. Definindo
e
:
$$w_y=\frac{N_yD-ND_y}{D2}=\frac{3x(x2-y2)-3xy\cdot(-2y)}{(x2-y2)2}=\frac{3x(x2+y2)}{(x2-y2)^2}.
$$
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Como
$$\frac{dw}{dt}= -\frac{3y(x2+y2)}{(x2-y2)2}\cdot2t+\frac{3x(x2+y2)}{(x2-y2)2}\cdot3
= -\frac{9t2(t4+9t2)}{(t4-9t2)2}+\frac{9t2(t4+9t2)}{(t4-9t2)2}
= -\frac{9(t2+9)}{(t2-9)^2}.
= -\frac{9(t2+9)}{(t2-9)^2}.
$$
Passo 4
Agora calculamos
diretamente substituindo antes e depois derivamos. Temos
Derivando usando regra do quociente:
Passo 5
Observamos que ambas as maneiras levam ao mesmo resultado para
, confirmando a consistência dos métodos.