Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada. Explicite a cada passo a regra de derivação utilizada.
  1. f(x)=(x+1)^5(1-x)^4

Passo 1

Temos a função
f(x)=(x+1)^5(1-x)^4
e queremos f'(x). Vamos usar as seguintes regras de derivação: regra do produto, regra da cadeia e regra da potência.

Passo 2

Primeiro reescrevemos
f(x) = (x+1)^5,(1-x)^-4
Isso nos permite aplicar a regra do produto entre
g(x)=(x+1)^5 e h(x)=(1-x)^-4.

Passo 3

Derivamos g(x)=(x+1)^5 usando a regra da potência:
g'(x) = 5,(x+1)^4cdotddx(x+1) = 5,(x+1)^4

Passo 4

Derivamos h(x)=(1-x)^-4 usando a regra da cadeia:
h'(x) = -4,(1-x)^-5cdotddx(1-x) = -4,(1-x)^-5cdot(-1) = 4,(1-x)^-5

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x) = g'(x),h(x) + g(x),h'(x)

Passo 6

Substituindo g,g',h,h':
f'(x) = 5,(x+1)^4,(1-x)^-4 + (x+1)^5,4,(1-x)^-5
Colocamos fator comum (x+1)^4(1-x)^-5:
f'(x) = (x+1)^4(1-x)^-5l[5(1-x) + 4(x+1)r]

Passo 7

Simplificando o colchete:
5(1-x) + 4(x+1) = 5 - 5x + 4x + 4 = 9 - x
Logo
f'(x) = (x+1)^4,(9 - x)(1-x)^5

Resposta

f'(x) = (x+1)^4,(9 - x)(1-x)^5

Exercícios relacionados