Nos problemas a seguir, calcule a integral definida pedida.
integral1^4 2 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^4 2 raizx , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções polinomiais e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função dentro da integral para facilitar a integração. Sabemos que raizx é o mesmo que x^1/2. Então, a integral fica:
integral1^4 2 x^1/2 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar 2 x^1/2. A regra básica para integrar x^n é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Ou seja:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra na nossa função, temos:
integral 2 x^1/2 , dx = 2 cdot x^(1/2)+1(1/2)+1 + C = 2 cdot x^3/23/2 + C

Passo 5

Simplificando a expressão, multiplicamos por 2 e dividimos por 3/2, o que é o mesmo que multiplicar por 4/3:
2 cdot x^3/23/2 = 43 x^3/2 + C

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular o valor da primitiva nos limites de integração e subtrair:
[ 43 x^3/2 ]1^4 = 43 (4)^3/2 - 43 (1)^3/2

Passo 7

Calculando cada termo:
4^3/2 = ( raiz4 )^3 = 2^3 = 8
1^3/2 = 1
Substituindo de volta:
43 cdot 8 - 43 cdot 1 = 323 - 43 = 283

Resposta

A integral definida integral1^4 2 raizx , dx é igual a 283.

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