Nos problemas a seguir, calcule a integral definida pedida.
integral0^1 e^-x(4-e^x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral0^1 e^-x(4 - e^x) dx. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais no cálculo, especificamente integrais definidas. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de integrais e conhecer as integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Distribuímos e^-x para os termos dentro dos parênteses:
integral0^1 e^-x cdot 4 , dx - integral0^1 e^-x cdot e^x , dx

Passo 3

Agora, simplificamos cada parte:
  1. Para o primeiro termo: 4e^-x permanece como está.
  2. Para o segundo termo: e^-x cdot e^x = e^-x + x = e^0 = 1.
Então, a integral fica:
integral0^1 4e^-x , dx - integral0^1 1 , dx

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Integral de 4e^-x:
    A integral de e^-x é -e^-x. Multiplicando por 4, temos:
integral 4e^-x , dx = -4e^-x + C
  1. Integral de 1:
    A integral de 1 em relação a x é simplesmente x:
integral 1 , dx = x + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1 para cada parte.
  1. Para -4e^-x:
-4e^-1 - (-4e^0) = -4e^-1 + 4
  1. Para x:
1 - 0 = 1

Passo 6

Subtraímos os resultados das integrais:
(-4e^-1 + 4) - 1 = -4e^-1 + 3

Resposta

A integral definida integral0^1 e^-x(4 - e^x) dx é igual a 3 - 4e. Aproximando o valor de e approx 2,718, temos:
3 - 42,718 approx 3 - 1,471 approx 1,529
Portanto, o resultado final é aproximadamente 1,529.

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