Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral
. Isso está na área de cálculo integral, especificamente usando técnicas de simplificação e substituição para resolver integrais mais complicadas. Vamos precisar simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Uma boa estratégia aqui é usar uma substituição. Vamos deixar
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora precisamos expressar
em termos de
. Se
, então
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos substituir
por
e
por
na integral original:
Simplificando, fica:
Passo 5
Agora a integral ficou bem mais simples:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Então,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral é
.