Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral 1raizx(raizx+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral integral 1raizx(raizx+1) , dx. Isso está na área de cálculo integral, especificamente usando técnicas de simplificação e substituição para resolver integrais mais complicadas. Vamos precisar simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Uma boa estratégia aqui é usar uma substituição. Vamos deixar u = raizx . Isso significa que u = x^1/2 .

Passo 3

Agora precisamos expressar dx em termos de u . Se u = x^1/2 , então x = u^2 . Derivando ambos os lados em relação a u , temos:
dxdu = 2u Rightarrow dx = 2u , du

Passo 4

Vamos substituir raizx por u e dx por 2u , du na integral original:
integral 1u(u + 1) cdot 2u , du
Simplificando, fica:
2 integral uu(u + 1) , du = 2 integral 1u + 1 , du

Passo 5

Agora a integral ficou bem mais simples:
2 integral 1u + 1 , du
Sabemos que a integral de 1u + 1 em relação a u é ln|u + 1| . Então,
2 ln|u + 1| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos voltar para a variável original x . Lembrando que u = raizx , substituímos de volta:
2 ln(raizx + 1) + C

Resposta

A integral é 2 ln(raizx + 1) + C .

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