Use transformada de Laplace para resolver o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo equações diferenciais e vai usar a Transformada de Laplace para resolver. A equação que você precisa resolver é:
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. A Transformada de Laplace de uma função
é
. Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar das regras da Transformada de Laplace para derivadas:
Substituindo essas na equação, ficamos com:
Passo 4
Vamos substituir os valores das condições iniciais
e
:
Agora, vamos agrupar os termos com
:
Para simplificar, vamos isolar
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para
para obter
. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a expressão para
fica:
Resolvendo as frações parciais e aplicando a Transformada Inversa, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.