Use transformada de Laplace para resolver o PVI:
l y^prime prime+4 y^prime+4 y=4 cos 2 t y(0)=2 y^prime(0)=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo equações diferenciais e vai usar a Transformada de Laplace para resolver. A equação que você precisa resolver é:
y'' + 4y' + 4y = 4 cos 2t
com as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 5 . Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução y(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. A Transformada de Laplace de uma função y(t) é Y(s) . Então, temos:
Ly'' + 4Ly' + 4Ly = L4 cos 2t

Passo 3

Agora, precisamos lembrar das regras da Transformada de Laplace para derivadas:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)
Substituindo essas na equação, ficamos com:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 4[s Y(s) - y(0)] + 4 Y(s) = L4 cos 2t

Passo 4

Vamos substituir os valores das condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 5 :
s^2 Y(s) - 2s - 5 + 4s Y(s) - 8 + 4 Y(s) = 4ss^2 + 4
Agora, vamos agrupar os termos com Y(s) :
(s^2 + 4s + 4) Y(s) = 2s + 13 + 4ss^2 + 4
Para simplificar, vamos isolar Y(s) :
Y(s) = 2s + 13s^2 + 4s + 4 + 4s(s^2 + 4)(s^2 + 4s + 4)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para Y(s) para obter y(t) . Primeiro, fatoramos o denominador:
s^2 + 4s + 4 = (s + 2)^2
Então, a expressão para Y(s) fica:
Y(s) = 2s + 13(s + 2)^2 + 4s(s^2 + 4)(s + 2)^2
Resolvendo as frações parciais e aplicando a Transformada Inversa, obtemos:
y(t) = (2t + 3)e^-2t + cos(2t)

Resposta

A solução da equação diferencial é y(t) = (2t + 3)e^-2t + cos(2t) .

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