Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede os intervalos de concavidade de
e todos os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a segunda derivada
e analisar seu sinal.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de primeira ordem usando a regra da potência:
Passo 3
Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada:
Passo 4
Analisamos o sinal de
. Como a raiz cúbica é negativa para
, zero em
e positiva para
, segue que:
- Para :
concavidade para baixo.
- Para :
concavidade para cima.
- Para
- Para
Passo 5
Em
temos
e o sinal de
troca de negativo para positivo, caracterizando um ponto de inflexão. O valor da função nesse ponto é
Resposta
Concavidade para cima em
.
Concavidade para baixo em .
Ponto de inflexão em , com
.
Concavidade para baixo em
Ponto de inflexão em