Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
F(x)=(x-4)^73

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de concavidade de
F(x) = (x-4)^73
e todos os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a segunda derivada F''(x) e analisar seu sinal.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de primeira ordem usando a regra da potência:
F'(x) = 73,(x-4)^73-1 = 73,(x-4)^43

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada:
F''(x) = 73cdot 43,(x-4)^43-1 = 289,(x-4)^13

Passo 4

Analisamos o sinal de F''(x)=289(x-4)^1/3. Como a raiz cúbica é negativa para x-4<0, zero em x=4 e positiva para x-4>0, segue que:
- Para x<4: F''(x)<0 Rightarrow concavidade para baixo.
- Para x>4: F''(x)>0 Rightarrow concavidade para cima.

Passo 5

Em x=4 temos F''(4)=0 e o sinal de F'' troca de negativo para positivo, caracterizando um ponto de inflexão. O valor da função nesse ponto é
F(4)=(4-4)^73=0

Resposta

Concavidade para cima em (4,infty).
Concavidade para baixo em (-infty,4).
Ponto de inflexão em x=4, com F(4)=0.

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