Qual das séries abaixo é divergente?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A pergunta é: “Qual das séries abaixo é divergente?” e nos apresenta a série
Então, vamos trabalhar com séries infinitas, especificamente analisando se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de análise de séries, como o teste da série geométrica e o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura geral da série. A série é:
Aqui, cada termo da série é dado por
. Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Observamos que
é uma função que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Portanto, o termo
varia entre 0 e 2. Isso significa que o numerador da nossa expressão está limitado:
Passo 4
Agora, vamos olhar para o denominador, que é
. Esse é um termo de uma progressão geométrica onde a base é 11, um número maior que 1. Sabemos que uma progressão geométrica com base maior que 1 tende a aumentar rapidamente conforme
aumenta.
Passo 5
Para determinar a convergência ou divergência da série, podemos comparar nossa série com uma série geométrica conhecida. Considere a série geométrica:
Essa série é uma série geométrica com razão
, que é menor que 1. Sabemos que uma série geométrica converge se a razão
.
Passo 6
Como cada termo da nossa série original satisfaz:
E a série de referência
converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.