Qual das séries abaixo é divergente?
sumn=0^infty 1+sin (11 n)11^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A pergunta é: “Qual das séries abaixo é divergente?” e nos apresenta a série
sumn=0^infty 1+sin (11 n)11^n
Então, vamos trabalhar com séries infinitas, especificamente analisando se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de análise de séries, como o teste da série geométrica e o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura geral da série. A série é:
sumn=0^infty 1+sin (11 n)11^n
Aqui, cada termo da série é dado por 1+sin (11 n)11^n. Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Observamos que sin(11n) é uma função que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Portanto, o termo 1 + sin(11n) varia entre 0 e 2. Isso significa que o numerador da nossa expressão está limitado:
0 <= 1 + sin(11n) <= 2

Passo 4

Agora, vamos olhar para o denominador, que é 11^n. Esse é um termo de uma progressão geométrica onde a base é 11, um número maior que 1. Sabemos que uma progressão geométrica com base maior que 1 tende a aumentar rapidamente conforme n aumenta.

Passo 5

Para determinar a convergência ou divergência da série, podemos comparar nossa série com uma série geométrica conhecida. Considere a série geométrica:
sumn=0^infty 211^n
Essa série é uma série geométrica com razão 111, que é menor que 1. Sabemos que uma série geométrica converge se a razão |r| < 1.

Passo 6

Como cada termo da nossa série original satisfaz:
0 <= 1+sin(11n)11^n <= 211^n
E a série de referência sum 211^n converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=0^infty 1+sin (11 n)11^n converge.

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