Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O objetivo aqui é descobrir em quais intervalos a concavidade dessa função está para cima ou para baixo, além de identificar qualquer ponto de inflexão. Para fazer isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
para depois calcular a segunda. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos indica a concavidade da função.
Passo 4
Para encontrar onde a concavidade está para cima ou para baixo, precisamos analisar o sinal da segunda derivada
.
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
Vamos resolver
para encontrar os pontos críticos.
Passo 5
Agora, vamos testar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver o sinal de
:
-
Intervalo
: - Escolha
-
- Concavidade para cima
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
-
- Concavidade para baixo
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
-
- Concavidade para cima
- Escolha
Passo 6
Para encontrar os pontos de inflexão, buscamos onde a concavidade muda, ou seja, onde
e há mudança de sinal.
Já encontramos
e
. Vamos verificar se há mudança de concavidade nesses pontos:
-
Em
: - De concavo para cima (antes de 0) para concavo para baixo (após 0)
- Ponto de inflexão em
-
Em
: - De concavo para baixo (antes de 2) para concavo para cima (após 2)
- Ponto de inflexão em
Resposta
A concavidade da função
é para cima nos intervalos
e
, e para baixo no intervalo
. Existem pontos de inflexão em
e
.