Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
f(x)=x^4-4 x^3+10 x-0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = x^4 - 4x^3 + 10x . O objetivo aqui é descobrir em quais intervalos a concavidade dessa função está para cima ou para baixo, além de identificar qualquer ponto de inflexão. Para fazer isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f(x) para depois calcular a segunda. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função.
f'(x) = ddx(x^4) - ddx(4x^3) + ddx(10x)
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos indica a concavidade da função.
f''(x) = ddx(4x^3) - ddx(12x^2) + ddx(10)
f''(x) = 12x^2 - 24x

Passo 4

Para encontrar onde a concavidade está para cima ou para baixo, precisamos analisar o sinal da segunda derivada f''(x) .
  • Concavidade para cima: f''(x) > 0
  • Concavidade para baixo: f''(x) < 0
Vamos resolver f''(x) = 0 para encontrar os pontos críticos.
12x^2 - 24x = 0
12x(x - 2) = 0
x = 0 ou x = 2

Passo 5

Agora, vamos testar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver o sinal de f''(x) :
  1. Intervalo x < 0 :
    • Escolha x = -1
    • f''(-1) = 12(-1)^2 - 24(-1) = 12 + 24 = 36 > 0
    • Concavidade para cima
  2. Intervalo 0 < x < 2 :
    • Escolha x = 1
    • f''(1) = 12(1)^2 - 24(1) = 12 - 24 = -12 < 0
    • Concavidade para baixo
  3. Intervalo x > 2 :
    • Escolha x = 3
    • f''(3) = 12(3)^2 - 24(3) = 108 - 72 = 36 > 0
    • Concavidade para cima

Passo 6

Para encontrar os pontos de inflexão, buscamos onde a concavidade muda, ou seja, onde f''(x) = 0 e há mudança de sinal.
Já encontramos x = 0 e x = 2 . Vamos verificar se há mudança de concavidade nesses pontos:
  • Em x = 0 :
    • De concavo para cima (antes de 0) para concavo para baixo (após 0)
    • Ponto de inflexão em x = 0
  • Em x = 2 :
    • De concavo para baixo (antes de 2) para concavo para cima (após 2)
    • Ponto de inflexão em x = 2

Resposta

A concavidade da função f(x) = x^4 - 4x^3 + 10x é para cima nos intervalos (-infty, 0) e (2, +infty) , e para baixo no intervalo (0, 2) . Existem pontos de inflexão em x = 0 e x = 2 .

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