Nos problemas a seguir, use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=2 x+5-e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 2y' = 2x + 5 - e^{-2x}
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois um particular para cada termo da parte não homogênea (polinomial e exponencial).

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + 2y' = 0
montamos a equação característica r^2 + 2r = 0, cujas raízes são r(r+2)=0, ou seja, r=0 e r=-2. Logo a solução geral da homogênea é
y_c = C_1 + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Procuramos um particular y_{p1} para a parte polinomial 2x+5. Como o grau de 2x+5 é 1, tentamos
y_{p1} = ax^2 + bx + c.
Então
y_{p1}' = 2ax + b, \quad y_{p1}'' = 2a,
e
y_{p1}'' + 2y_{p1}' = 2a + 2(2ax + b) = 4ax + (2a+2b).
Igualando a 2x+5 obtemos o sistema
4a = 2, \quad 2a + 2b = 5.
Daí a = \tfrac12 e 2\cdot\tfrac12 + 2b = 5 b=2. O coeficiente c some na equação, e como ele pode ser absorvido em C_1, escolhemos c=0. Assim
y_{p1} = \tfrac12 x^2 + 2x.

Passo 4

Agora um particular y_{p2} para o termo -e^{-2x}. Note que e^{-2x} já faz parte de y_c, então há ressonância e multiplicamos por x. Tentamos
y_{p2} = C x e^{-2x}.
Calculamos
y_{p2}' = C(1 - 2x)e^{-2x}, \quad y_{p2}'' = C(-4 + 4x)e^{-2x},
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y_{p2}'' + 2y_{p2}' = C\bigl(-4 + 4x + 2 - 4x\bigr)e^{-2x} = -2C\,e^{-2x}.
Queremos que isso seja -e^{-2x}, então -2C = -1 C=\tfrac12. Portanto
y_{p2} = \tfrac12\,x\,e^{-2x}.

Passo 5

A solução particular completa é
y_p = y_{p1} + y_{p2} = \tfrac12 x^2 + 2x + \tfrac12 x e^{-2x},
e a solução geral da equação é
y(x) = y_c + y_p = C_1 + C_2 e^{-2x} + \tfrac12 x^2 + 2x + \tfrac12 x e^{-2x}.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-2x} + \tfrac12 x^2 + 2x + \tfrac12 x e^{-2x}.

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