Para os problemas a seguir, utilize a método conveniente para resolver as integrais que envolvem produtos de funções trigonométricas.
integral tan ^3 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral tan^3 2x , dx. Esse exercício envolve integrais de funções trigonométricas, especificamente potências da tangente. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^3 2x para facilitar a integração. Sabemos que tan^2 theta = sec^2 theta - 1. Então,
tan^3 2x = tan 2x cdot tan^2 2x = tan 2x cdot (sec^2 2x - 1)

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes usando essa expressão:
integral tan^3 2x , dx = integral tan 2x cdot sec^2 2x , dx - integral tan 2x , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral integral tan 2x cdot sec^2 2x , dx. Para isso, usamos a substituição:
  • Seja u = tan 2x
  • Então, du = 2 sec^2 2x , dx, ou seja, dx = du2 sec^2 2x
Substituindo na integral:
integral u cdot du2 = 12 integral u , du = 12 cdot u^22 = u^24 = tan^2 2x4

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral - integral tan 2x , dx. Sabemos que integral tan theta , dtheta = -ln|cos theta| + C. Aplicando isso:
- integral tan 2x , dx = - ( -12 ln|cos 2x| ) = 12 ln|cos 2x|

Passo 6

Juntando as duas partes resolvidas:
integral tan^3 2x , dx = tan^2 2x4 + 12 ln|cos 2x| + C

Resposta

A integral de tan^3 2x em relação a x é:
integral tan^3 2x , dx = tan^2 2x4 + 12 ln|cos 2x| + C

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