Para os problemas a seguir, utilize a método conveniente para resolver as integrais que envolvem produtos de funções trigonométricas.
integral ctg^5 x csc ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral ctg^5 x csc^3 x , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo produtos de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições das funções cotangente e cosecante:
ctg , x = cos xsin x e csc x = 1sin x
Então, podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno:
integral ( cos xsin x )^5 ( 1sin x )^3 dx = integral cos^5 xsin^8 x dx

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade fundamental sin^2 x + cos^2 x = 1 para facilitar a integração. Vamos separar uma potência de cos x para usar na substituição:
cos^5 x = cos^4 x cdot cos x = (sin^2 x)^2 cdot cos x
Substituindo na integral:
integral (sin^2 x)^2 cdot cos xsin^8 x dx = integral cos xsin^4 x dx

Passo 4

Vamos realizar uma substituição para simplificar a integral. Seja u = sin x, então du = cos x , dx. Substituindo na integral:
integral 1u^4 du

Passo 5

Agora, vamos integrar 1u^4:
integral u^-4 du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = sin x:
-13 (sin x)^3 + C = -13 sin^3 x + C

Resposta

A integral integral ctg^5 x csc^3 x , dx é igual a -13 sin^3 x + C, onde C é a constante de integração.

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