Para os problemas a seguir, utilize a método conveniente para resolver as integrais que envolvem produtos de funções trigonométricas.
integral(sec 3 x+tan 3 x)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(sec 3x + tan 3x)^2 dx. Nesta questão, vamos utilizar métodos de integração que envolvem produtos de funções trigonométricas. Precisaremos das identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da soma dentro da integral:
(sec 3x + tan 3x)^2 = sec^2 3x + 2sec 3x tan 3x + tan^2 3x

Passo 3

Agora, substituímos a expressão expandida na integral:
integral (sec^2 3x + 2sec 3x tan 3x + tan^2 3x) , dx

Passo 4

Vamos resolver cada termo separadamente. Primeiro, a integral de sec^2 3x:
integral sec^2 3x , dx
Sabemos que integral sec^2 u , du = tan u + C. Aplicando essa identidade:
13 tan 3x

Passo 5

Next, the integral of 2sec 3x tan 3x:
2 integral sec 3x tan 3x , dx
Sabemos que integral sec u tan u , du = sec u + C. Aplicando a substituição:
2 cdot 13 sec 3x = 23 sec 3x

Passo 6

Agora, a integral de tan^2 3x:
integral tan^2 3x , dx
Utilizamos a identidade tan^2 u = sec^2 u - 1:
integral (sec^2 3x - 1) , dx = 13 tan 3x - x

Passo 7

Somando todas as partes integradas:
13 tan 3x + 23 sec 3x + 13 tan 3x - x + C
Simplificando os termos semelhantes:
23 tan 3x + 23 sec 3x - x + C

Resposta

A integral é igual a:
23 tan 3x + 23 sec 3x - x + C

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