Para os problemas a seguir, utilize a método conveniente para resolver as integrais que envolvem produtos de funções trigonométricas.
integral sin ^3 x cos ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^3 x cos^4 x ,dx
O conteúdo envolvido é a integração de produtos de funções trigonométricas usando identidades de redução de potência e substituição trigonométrica.

Passo 2

Como a potência de sin x é ímpar, separamos um fator sin x e usamos sin^2 x = 1 - cos^2 x. Assim,
sin^3 x cos^4 x = (sin^2 x),sin x,cos^4 x = (1 - cos^2 x),sin x,cos^4 x

Passo 3

Fazemos a substituição u = cos x, logo du = -sin x,dx ou sin x,dx = -,du. A integral vira
integral (1 - cos^2 x),sin x,cos^4 x,dx = -integral (1 - u^2),u^4,du

Passo 4

Expandimos o integrando em u:
(1 - u^2),u^4 = u^4 - u^6,
então
-integral (u^4 - u^6),du = -integral u^4,du + integral u^6,du = -u^55 + u^77 + C

Passo 5

Voltando à variável x com u = cos x, obtemos a antiderivada
cos^7 x7 - cos^5 x5 + C

Resposta

integral sin^3 x cos^4 x,dx = cos^7 x7 ;-;cos^5 x5 + C

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