Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de expansão em frações parciais. Esse método faz parte do conteúdo de cálculo integral e é super útil quando temos uma fração onde o denominador pode ser fatorado em termos lineares. Vamos precisar decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão como uma soma de duas frações parciais:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores comuns :

Passo 4

Agora, vamos expandir e reorganizar a equação:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :

Passo 6

Com os valores de e encontrados, nossa fração original fica:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Vamos integrar:
Lembrando que , temos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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