Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de expansão em frações parciais. Esse método faz parte do conteúdo de cálculo integral e é super útil quando temos uma fração onde o denominador pode ser fatorado em termos lineares. Vamos precisar decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão
como uma soma de duas frações parciais:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores comuns
:
Passo 4
Agora, vamos expandir e reorganizar a equação:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, nossa fração original fica:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Vamos integrar:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.