Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
integral (5 x-4)(x-2)(x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 5x - 4(x - 2)(x + 1) dx usando o método de expansão em frações parciais. Esse método faz parte do conteúdo de cálculo integral e é super útil quando temos uma fração onde o denominador pode ser fatorado em termos lineares. Vamos precisar decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão 5x - 4(x - 2)(x + 1) como uma soma de duas frações parciais:
5x - 4(x - 2)(x + 1) = Ax - 2 + Bx + 1
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores comuns (x - 2)(x + 1):
5x - 4 = A(x + 1) + B(x - 2)

Passo 4

Agora, vamos expandir e reorganizar a equação:
5x - 4 = A x + A + B x - 2B
5x - 4 = (A + B)x + (A - 2B)
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 5 A - 2B = -4

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar A em termos de B:
A = 5 - B
Substituindo na segunda equação:
(5 - B) - 2B = -4
5 - 3B = -4
-3B = -9
B = 3
Agora, substituindo B = 3 na expressão de A:
A = 5 - 3 = 2

Passo 6

Com os valores de A e B encontrados, nossa fração original fica:
5x - 4(x - 2)(x + 1) = 2x - 2 + 3x + 1
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Vamos integrar:
integral 2x - 2 dx + integral 3x + 1 dx
Lembrando que integral 1x - a dx = ln|x - a| + C, temos:
2 ln|x - 2| + 3 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral é igual a 2 ln|x - 2| + 3 ln|x + 1| + C, onde C é a constante de integração.

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