Utilize o processo de integração por substituição trigonométrica para resolver as integrais a seguir.
integral raiz16-e^2 xe^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raiz16 - e^2xe^x,dx
usando substituição trigonométrica. Aqui vamos primeiro fazer a troca de variável t = e^x, que isola a parte exponencial, e depois usar a substituição trigonométrica apropriada para a raiz raiz16 - t^2.

Passo 2

Fazendo t = e^x, temos dx = dtt. Então
integral raiz16 - e^2xe^x,dx = integral raiz16 - t^2t,dtt = integral raiz16 - t^2t^2,dt

Passo 3

Para tratar raiz16 - t^2, escolhemos a substituição trigonométrica
t = 4sintheta, dt = 4costheta,dtheta,
de modo que
raiz16 - t^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta
A integral vira
integral 4costheta(4sintheta)^2,(4costheta,dtheta) = integral 4costhetacdot 4costheta16sin^2theta,dtheta = integral cos^2thetasin^2theta,dtheta = integral cot^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade cot^2theta = csc^2theta - 1. Logo
integral cot^2theta,dtheta = integral (csc^2theta - 1),dtheta = -cottheta - theta + C

Passo 5

Voltando às variáveis originais: de t=4sintheta obtemos
sintheta = t4, theta = arcsin!l(tfract4r), cottheta = costhetasintheta = raiz1-sin^2thetasintheta = raiz16 - t^2t
Assim a primitiva é
-cottheta - theta + C = -raiz16 - t^2t - arcsin!l(tfract4r) + C
Finalmente, como t = e^x, concluímos:

Resposta

-,raiz16 - e^2xe^x ;-;arcsin!l(tfrace^x4r) ;+;C

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