Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
integral2^3 3 x-2x^3-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral2^3 3x - 2x^3 - x^2 , dx
Aqui, a gente vai usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Primeiro, precisamos entender como o denominador se comporta e depois separar a fração em componentes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - x^2 . Podemos tirar um x^2 em evidência:
x^3 - x^2 = x^2(x - 1)
Então, a integral fica:
integral2^3 3x - 2x^2(x - 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 3x - 2x^2(x - 1) em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de termos mais simples:
3x - 2x^2(x - 1) = Ax + Bx^2 + Cx - 1
Aqui, A , B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A , B e C , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2(x - 1) :
3x - 2 = A cdot x(x - 1) + B cdot (x - 1) + C cdot x^2
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
3x - 2 = A x^2 - A x + B x - B + C x^2
3x - 2 = (A + C) x^2 + (-A + B) x - B

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x dos dois lados da equação:
  1. Para x^2 : A + C = 0
  2. Para x : -A + B = 3
  3. Para o termo constante: -B = -2
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Da terceira equação: -B = -2 , então B = 2 .
Substituindo B = 2 na segunda equação: -A + 2 = 3 , temos -A = 1 , ou seja, A = -1 .
Agora, substituindo A = -1 na primeira equação: -1 + C = 0 , então C = 1 .

Passo 7

Com os valores encontrados, nossa decomposição de frações fica:
3x - 2x^2(x - 1) = -1x + 2x^2 + 1x - 1
Agora, podemos reescrever a integral original usando essas frações:
integral2^3 ( -1x + 2x^2 + 1x - 1 ) , dx

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral -1x , dx = -ln|x|
  2. integral 2x^2 , dx = 2 cdot ( -1x ) = -2x
  3. integral 1x - 1 , dx = ln|x - 1|
Então, a integral completa é:
- ln|x| - 2x + ln|x - 1|

Passo 9

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 2 a 3:
[ - ln 3 - 23 + ln(3 - 1) ] - [ - ln 2 - 22 + ln(2 - 1) ]
Simplificando:
[ - ln 3 - 23 + ln 2 ] - [ - ln 2 - 1 + ln 1 ]
Sabemos que ln 1 = 0 , então:
- ln 3 - 23 + ln 2 + ln 2 + 1
Juntando os termos:
1 - 23 + 2 ln 2 - ln 3

Resposta

A integral vale:
13 + 2, ln,2 - ln,3

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