Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, a gente vai usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Primeiro, precisamos entender como o denominador se comporta e depois separar a fração em componentes menores.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos tirar um
em evidência:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de termos mais simples:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 6
Da terceira equação:
, então
.
Substituindo
na segunda equação:
, temos
, ou seja,
.
Agora, substituindo
na primeira equação:
, então
.
Passo 7
Com os valores encontrados, nossa decomposição de frações fica:
Agora, podemos reescrever a integral original usando essas frações:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa é:
Passo 9
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 2 a 3:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Juntando os termos:
Resposta
A integral vale: