Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
14 y^prime prime+y^prime+y=t^2-2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea 14y'' + y' + y = t^2 - 2t usando o método dos coeficientes indeterminados. Precisamos encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular que satisfaça o termo polinomial no lado direito.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos 14y'' + y' + y = 0. Multiplicando toda a equação por 4, obtemos a equação característica r^2 + 4r + 4 = 0, que tem raiz dupla r = -2. Portanto, a solução homogênea é yh = C1 e^-2t + C2 t e^-2t.

Passo 3

Como o termo não homogêneo t^2 - 2t é um polinômio de grau 2, propomos um palpite do tipo yp = A t^2 + B t + C, onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Calculemos as derivadas de yp e substituamos na EDO para expressar o lado esquerdo em função de A, B e C:
y'p = 2A t + B
y''p = 2A
Substituindo em 14y''p + y'p + yp, o lado esquerdo fica:
14y''p + y'p + yp = A t^2 + (2A + B)t + l(A2 + B + Cr)

Passo 5

Igualando esse resultado ao segundo membro t^2 - 2t, obtemos o sistema:
A = 1, 2A + B = -2, A2 + B + C = 0
Resolvendo, achamos A = 1, B = -4 e C = 72.

Passo 6

Finalmente, combinando a solução homogênea yh com a particular yp, a solução geral da EDO é y(t) = C1 e^-2t + C2 t e^-2t + t^2 - 4t + 72.

Resposta

y(t) = C1 e^-2t + C2 t e^-2t + t^2 - 4t + 72

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