Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
usando o método dos coeficientes indeterminados. Precisamos encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular que satisfaça o termo polinomial no lado direito.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
. Multiplicando toda a equação por 4, obtemos a equação característica
, que tem raiz dupla
. Portanto, a solução homogênea é
.
Passo 3
Como o termo não homogêneo
é um polinômio de grau 2, propomos um palpite do tipo
, onde A, B e C são constantes a determinar.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e substituamos na EDO para expressar o lado esquerdo em função de A, B e C:
Substituindo em
Passo 5
Igualando esse resultado ao segundo membro
, obtemos o sistema:
Resolvendo, achamos
,
e
.
Passo 6
Finalmente, combinando a solução homogênea
com a particular
, a solução geral da EDO é
.