Nos problemas 1-4, use o teorema da convolução para obter uma fórmula para a solução do problema de valor inicial dado, em que g(t) é contínuo por partes em [0, infty) e de ordem exponencial.
y^prime prime-2 y^prime+y=g(t);
y(0)=-1, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando o teorema da convolução. A equação que temos é:
y'' - 2y' + y = g(t)
com as condições iniciais:
y(0) = -1 e y'(0) = 1
Aqui, g(t) é uma função contínua por partes e de ordem exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como o teorema da convolução funciona e aplicar ele para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais amigável para aplicar o teorema da convolução. A equação é de segunda ordem e linear, então podemos usar o operador diferencial associado:
L[y] = y'' - 2y' + y
A equação então fica:
L[y] = g(t)
Para resolver isso, precisamos encontrar a função resposta ao impulso, também conhecida como função de Green, que é a solução da equação homogênea associada (quando g(t) = 0 ) com certas condições iniciais.

Passo 3

Vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:
y'' - 2y' + y = 0
Para resolver essa equação, encontramos as raízes características. Suponha que a solução seja da forma y = e^rt . Substituindo na equação:
r^2 e^rt - 2r e^rt + e^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero):
r^2 - 2r + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 2 pm raiz4 - 42 = 22 = 1
Temos uma raiz dupla r = 1 . Portanto, a solução geral da homogênea é:
yh(t) = (C1 + C2 t) e^t

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a solução particular yp(t) que satisfaz a equação completa L[y] = g(t) . Para isso, usamos o teorema da convolução, que nos diz que a solução particular pode ser escrita como a convolução da função resposta ao impulso h(t) com g(t) :
yp(t) = integral0^t h(t - tau) g(tau) , dtau
Primeiro, precisamos determinar h(t) , a resposta ao impulso para as condições iniciais zero.

Passo 5

A função resposta ao impulso h(t) é a solução da equação homogênea com condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = 1
Usando a solução homogênea que encontramos:
y(t) = (C1 + C2 t) e^t
Aplicando as condições iniciais:
Para y(0) = 0 :
0 = (C1 + C2 cdot 0) e^0 Rightarrow C1 = 0
Para y'(0) = 1 :
Primeiro, encontramos a derivada de y(t) :
y'(t) = C2 e^t + (C1 + C2 t) e^t = C2 e^t + C2 t e^t
Aplicando t = 0 :
1 = C2 e^0 + C2 cdot 0 Rightarrow C2 = 1
Portanto, a função resposta ao impulso é:
h(t) = t e^t

Passo 6

Agora que temos h(t) = t e^t , podemos escrever a solução particular usando a convolução:
yp(t) = integral0^t (t - tau) e^t - tau g(tau) , dtau
Simplificando a expressão:
yp(t) = e^t integral0^t (t - tau) e^-tau g(tau) , dtau

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t)
Substituindo yh(t) e yp(t) :
y(t) = (C1 + C2 t) e^t + e^t integral0^t (t - tau) e^-tau g(tau) , dtau
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar C1 e C2 .

Passo 8

Aplicando as condições iniciais na solução geral:
Para y(0) = -1 :
-1 = (C1 + C2 cdot 0) e^0 + e^0 integral0^0 (cdot) , dtau Rightarrow C1 = -1
Para y'(0) = 1 :
Calculamos a derivada de y(t) :
y'(t) = (C2 + (C1 + C2 t)) e^t + e^t integral0^t (t - tau) e^-tau g(tau) , dtau + e^t cdot 0
Aplicando t = 0 :
1 = (C2 + C1) e^0 Rightarrow C2 -1 = 1 Rightarrow C2 = 2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = (-1 + 2 t) e^t + e^t integral0^t (t - tau) e^-tau g(tau) , dtau

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