Nos problemas 1-4, use o teorema da convolução para obter uma fórmula para a solução do problema de valor inicial dado, em que
é contínuo por partes em
e de ordem exponencial.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando o teorema da convolução. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
Aqui,
é uma função contínua por partes e de ordem exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como o teorema da convolução funciona e aplicar ele para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais amigável para aplicar o teorema da convolução. A equação é de segunda ordem e linear, então podemos usar o operador diferencial associado:
A equação então fica:
Para resolver isso, precisamos encontrar a função resposta ao impulso, também conhecida como função de Green, que é a solução da equação homogênea associada (quando
) com certas condições iniciais.
Passo 3
Vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, encontramos as raízes características. Suponha que a solução seja da forma
. Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla
. Portanto, a solução geral da homogênea é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a solução particular
que satisfaz a equação completa
. Para isso, usamos o teorema da convolução, que nos diz que a solução particular pode ser escrita como a convolução da função resposta ao impulso
com
:
Primeiro, precisamos determinar
, a resposta ao impulso para as condições iniciais zero.
Passo 5
A função resposta ao impulso
é a solução da equação homogênea com condições iniciais:
Usando a solução homogênea que encontramos:
Aplicando as condições iniciais:
Para
:
Para
:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Portanto, a função resposta ao impulso é:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a solução particular usando a convolução:
Simplificando a expressão:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Substituindo
e
:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 8
Aplicando as condições iniciais na solução geral:
Para
:
Para
:
Calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: