Para os problemas de valor inicial abaixo, aproxime y(1) pelo método de Euler, ut h=0.1. Calcule o erro absoluto nas duas aproximações.
y^{\prime}=-t y e y(0)=1 \quad Sol. analitica: y(t)=e^{-t^{2} / 2}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar y(1) pelo método de Euler com passo h=0,1 e calcular o erro absoluto nas duas aproximações. Informações dadas:
  • Equação diferencial e condição inicial: \;y'=-t\,y,\; y(0)=1.
  • Solução analítica fornecida: \;y(t)=e^{-t^{2}/2}.
  • Valor exato que usaremos para comparar em t=1: \;y(1)=e^{-1/2}.
Observação sobre a expressão “nas duas aproximações”: para garantir que eu entregue duas aproximações (como o enunciado pede) eu calcularei (1) a aproximação pelo método de Euler explícito (o pedido) e (2) a aproximação pelo método de Euler melhorado (Heun) com o mesmo passo h=0,1. Depois calculo o erro absoluto de cada uma em relação a \;y(1)=e^{-1/2}.

Passo 2

O método de Euler explícito (forward Euler) é uma forma simples de aproximar soluções de EDOs do tipo \;y'=f(t,y) com passo h. A ideia é usar a inclinação atual f(t_n,y_n) para avançar uma etapa:
y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n).
Aqui:
  • t_n é o nó atual (começando em t_0=0);
  • y_n é a aproximação de y(t_n);
  • h é o passo (aqui h=0,1);
  • avançamos até t=1, então o número de passos é
N=\frac{1-0}{0,1}=10.
No nosso caso f(t,y)=-t\,y. Vou aplicar a fórmula iterativamente de n=0 até n=9.

Passo 3

Aplicando Euler explícito passo a passo. Começo com t_0=0,\;y_0=1. Em cada passo calculo f_n=f(t_n,y_n)=-t_n y_n e y_{n+1}=y_n+0,1\,f_n.
  • n=0: t_0=0,\;y_0=1. Então f_0= -0\cdot1=0. Logo y_1=1+0,1\cdot0=1.
  • n=1: t_1=0,1,\;y_1=1. f_1=-0,1\cdot1=-0,1. y_2=1+0,1(-0,1)=1-0,01=0,99.
  • n=2: t_2=0,2,\;y_2=0,99. f_2=-0,2\cdot0,99=-0,198. y_3=0,99+0,1(-0,198)=0,9702.
  • n=3: t_3=0,3,\;y_3=0,9702. f_3=-0,3\cdot0,9702=-0,29106. y_4=0,9702-0,029106=0,941094.
  • n=4: t_4=0,4,\;y_4=0,941094. f_4=-0,4\cdot0,941094=-0,3764376. y_5=0,941094-0,03764376=0,90345024.
  • n=5: t_5=0,5,\;y_5=0,90345024. f_5=-0,5\cdot0,90345024=-0,45172512. y_6=0,90345024-0,045172512=0,858277728.
  • n=6: t_6=0,6,\;y_6=0,858277728. f_6=-0,6\cdot0,858277728=-0,5149666368. y_7=0,858277728-0,05149666368=0,80678106432.
  • n=7: t_7=0,7,\;y_7=0,80678106432. f_7=-0,7\cdot0,80678106432=-0,564746745024. y_8=0,80678106432-0,0564746745024=0,7503063898176.
  • n=8: t_8=0,8,\;y_8=0,7503063898176. f_8=-0,8\cdot0,7503063898176=-0,60024511185408. y_9=0,7503063898176-0,060024511185408=0,690281878632192.
  • n=9: t_9=0,9,\;y_9=0,690281878632192. f_9=-0,9\cdot0,690281878632192=-0,6212536907689728. y_{10}=0,690281878632192-0,06212536907689728=0,6281565095552947.
Portanto a aproximação por Euler explícito em t=1 é
\hat{y}_{\text{Euler}}=y_{10}=0,6281565095552947.

Passo 4

Calculando o erro absoluto da aproximação de Euler. O valor exato é
y(1)=e^{-1/2}\approx 0,6065306597126334.
O erro absoluto é
\text{erro}_{\text{Euler}}=\bigl|\,\hat{y}_{\text{Euler}}-y(1)\,\bigr| =|0,6281565095552947-0,6065306597126334| \approx 0,0216258498426613.

Passo 5

Agora explico o método de Euler melhorado (Heun) — uma versão simples de método de ordem mais alta que costuma dar aproximações muito melhores. A ideia é:
  1. calcular a inclinação inicial k_1=f(t_n,y_n);
  2. calcular um preditor (Euler explícito) y^{\text{pred}}=y_n+h k_1 e a inclinação no ponto predito k_2=f(t_{n+1},y^{\text{pred}});
  3. usar a média das duas inclinações para avançar:
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(k_1+k_2).
No nosso caso f(t,y)=-t y. Vou aplicar com o mesmo h=0,1 (novamente N=10).

Passo 6

Aplicando Heun passo a passo (todos os k_1,k_2 e y_n mostrados):
  • n=0: t_0=0,\;y_0=1. k_1=f(0,1)=0. y^{\text{pred}}=1+0,1\cdot0=1. k_2=f(0,1)=-0,1\cdot1=-0,1. y_1=1+\tfrac{0,1}{2}(0-0,1)=1-0,005=0,995.
  • n=1: t_1=0,1,\;y_1=0,995. k_1=-0,1\cdot0,995=-0,0995. y^{\text{pred}}=0,995-0,00995=0,98505. k_2=-0,2\cdot0,98505=-0,19701. y_2=0,995+0,05(-0,0995-0,19701)=0,9801745.
  • n=2: t_2=0,2,\;y_2=0,9801745. k_1=-0,1960349. y^{\text{pred}}=0,96057101. k_2=-0,288171303. y_3=0,95596418985.
  • n=3: t_3=0,3,\;y_3=0,95596418985. k_1=-0,286789256955. y^{\text{pred}}=0,9272852641545. k_2=-0,3709141056618. y_4=0,92307902171916.
  • n=4: t_4=0,4,\;y_4=0,92307902171916. k_1=-0,369231608687664. y^{\text{pred}}=0,8861558608503936. k_2=-0,4430779304251968. y_5=0,8824635447635169.
  • n=5: t_5=0,5,\;y_5=0,8824635447635169. k_1=-0,44123177238175845. y^{\text{pred}}=0,8383403675253411. k_2=-0,5030042205152047. y_6=0,8352517451186688.
  • n=6: t_6=0,6,\;y_6=0,8352517451186688. k_1=-0,5011510470712013. y^{\text{pred}}=0,7851366404115487. k_2=-0,5495956482880841. y_7=0,7827144103507045.
  • n=7: t_7=0,7,\;y_7=0,7827144103507045. k_1=-0,5479000872454932. y^{\text{pred}}=0,7279244016261552. k_2=-0,5823395213009242. y_8=0,7262024299233836.
  • n=8: t_8=0,8,\;y_8=0,7262024299233836. k_1=-0,5809619439387069. y^{\text{pred}}=0,6681062355295129. k_2=-0,6012956119765616. y_9=0,6670895521276202.
  • n=9: t_9=0,9,\;y_9=0,6670895521276202. k_1=-0,6003805969148581. y^{\text{pred}}=0,6070514924361344. k_2=-1,0\cdot0,6070514924361344=-0,6070514924361344. y_{10}=0,6670895521276202+0,05(-0,6003805969148581-0,6070514924361344)=0,6067179476600706.
Assim a aproximação por Euler melhorado (Heun) em t=1 é
\hat{y}_{\text{Heun}}=0,6067179476600706.

Passo 7

Erro absoluto da aproximação de Heun:
\text{erro}_{\text{Heun}}=\bigl|\,\hat{y}_{\text{Heun}}-y(1)\,\bigr| =|0,6067179476600706-0,6065306597126334| \approx 0,0001872879474372.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: o método de Euler explícito foi fácil de aplicar, mas acumulou erro até cerca de 0,0216. O método de Euler melhorado (Heun) exige um pouco mais de cálculo por passo (dois k por passo), mas já reduz muito o erro (aqui para cerca de 1,87\times10^{-4}). Em provas, se pedirem só “método de Euler”, faça Euler explícito; se for permitido usar uma variante melhor e o tempo permitir, Heun costuma ser uma boa escolha.

Resposta

Euler explícito: \hat{y}_{\text{Euler}}=0,6281565095552947, erro absoluto \approx 0,0216258498426613
Euler melhorado (Heun): \hat{y}_{\text{Heun}}=0,6067179476600706, erro absoluto \approx 0,0001872879474372

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