Para os problemas de valor inicial abaixo, aproxime y(1) pelo método de Euler, ut h=0.1. Calcule o erro absoluto nas duas aproximações. y^{\prime}=-t y e y(0)=1 \quad Sol. analitica: y(t)=e^{-t^{2} / 2}
Passo 1
O enunciado pede para aproximar y(1) pelo método de Euler com passo h=0,1 e calcular o erro absoluto nas duas aproximações. Informações dadas:
Equação diferencial e condição inicial: \;y'=-t\,y,\; y(0)=1.
Solução analítica fornecida: \;y(t)=e^{-t^{2}/2}.
Valor exato que usaremos para comparar em t=1: \;y(1)=e^{-1/2}.
Observação sobre a expressão “nas duas aproximações”: para garantir que eu entregue duas aproximações (como o enunciado pede) eu calcularei (1) a aproximação pelo método de Euler explícito (o pedido) e (2) a aproximação pelo método de Euler melhorado (Heun) com o mesmo passo h=0,1. Depois calculo o erro absoluto de cada uma em relação a \;y(1)=e^{-1/2}.
Passo 2
O método de Euler explícito (forward Euler) é uma forma simples de aproximar soluções de EDOs do tipo \;y'=f(t,y) com passo h. A ideia é usar a inclinação atual f(t_n,y_n) para avançar uma etapa:
y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n).
Aqui:
t_n é o nó atual (começando em t_0=0);
y_n é a aproximação de y(t_n);
h é o passo (aqui h=0,1);
avançamos até t=1, então o número de passos é
N=\frac{1-0}{0,1}=10.
No nosso caso f(t,y)=-t\,y. Vou aplicar a fórmula iterativamente de n=0 até n=9.
Passo 3
Aplicando Euler explícito passo a passo. Começo com t_0=0,\;y_0=1. Em cada passo calculo f_n=f(t_n,y_n)=-t_n y_n e y_{n+1}=y_n+0,1\,f_n.
n=0: t_0=0,\;y_0=1. Então f_0= -0\cdot1=0. Logo y_1=1+0,1\cdot0=1.
Agora explico o método de Euler melhorado (Heun) — uma versão simples de método de ordem mais alta que costuma dar aproximações muito melhores. A ideia é:
calcular a inclinação inicial k_1=f(t_n,y_n);
calcular um preditor (Euler explícito) y^{\text{pred}}=y_n+h k_1 e a inclinação no ponto predito k_2=f(t_{n+1},y^{\text{pred}});
usar a média das duas inclinações para avançar:
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(k_1+k_2).
No nosso caso f(t,y)=-t y. Vou aplicar com o mesmo h=0,1 (novamente N=10).
Passo 6
Aplicando Heun passo a passo (todos os k_1,k_2 e y_n mostrados):
Interpretação rápida e incentivo: o método de Euler explícito foi fácil de aplicar, mas acumulou erro até cerca de 0,0216. O método de Euler melhorado (Heun) exige um pouco mais de cálculo por passo (dois k por passo), mas já reduz muito o erro (aqui para cerca de 1,87\times10^{-4}). Em provas, se pedirem só “método de Euler”, faça Euler explícito; se for permitido usar uma variante melhor e o tempo permitir, Heun costuma ser uma boa escolha.