Seja y=e^{2 x}, a função tabelada abaixo. Usando 2 casas de arredondamento.
x
1
2
3
Y
7,39
54,60
403,42
a) Use a interpolação polinomial para estimar o valor de y quando x=1,5.
b) Determine o erro de truncamento, causado pelo arredondamento e interpolação.
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com três pontos da função y=e^{2x}, já arredondados com 2 casas decimais:
x_0=1,\; Y_0=7{,}39 (peguei este valor da tabela);
x_1=2,\; Y_1=54{,}60 (peguei este valor da tabela);
x_2=3,\; Y_2=403{,}42 (peguei este valor da tabela).
O que o enunciado pede:
(a) estimar y em x=1{,}5 usando interpolação polinomial (usando os valores tabelados);
(b) determinar o erro de truncamento / arredondamento e o erro de interpolação (ou seja: quantificar quanto vem do arredondamento dos Y e quanto vem da própria aproximação polinomial).
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar (sem resolver ainda): usar interpolação polinomial de grau 2 com os três pontos. Uma forma prática e direta é usar a forma de Lagrange do polinômio interpolador P_2(x):
Vou avaliar P_2 em x=1{,}5. Também vou usar a forma simplificada que aparece ao calcular \ell_j(1{,}5) — isso facilita os cálculos sem perder precisão.
Passo 3
Calcular as bases de Lagrange em x=1{,}5 de forma exata (frações), para evitar erros de arredondamento nas etapas:
Calcular P_2(1{,}5) usando os valores arredondados da tabela (isto é o pedido de (a)):
Usando Y_0=7{,}39,\;Y_1=54{,}60,\;Y_2=403{,}42 (peguei estes valores da tabela),
Arredondando a resposta conforme hábito de duas casas decimais (ou conforme pedido de utilização de 2 casas na tabela), obtemos
P_2(1{,}5)\approx -6{,}71.
Esse é o valor estimado de y em x=1{,}5 usando a interpolação com os valores tabelados.
Passo 6
Agora vamos quantificar os erros pedidos em (b). Existem duas fontes que o enunciado menciona:
erro devido ao arredondamento dos Y na tabela (isto é, usar 7{,}39,54{,}60,403{,}42 em vez dos valores exactos e^{2},e^{4},e^{6});
erro de interpolação (resíduo do polinômio), que é a diferença entre o valor real f(1{,}5)=e^{3} e o polinômio interpolador construído com os valores exactos.
Para separar as duas fontes, vou:
calcular P_2^{(arred)}(1{,}5): o polinômio obtido com os Y arredondados (já calculado: -6{,}70625);
calcular P_2^{(exato)}(1{,}5): o polinômio de interpolação de grau 2 construído com os valores exactos Y_0=e^{2},Y_1=e^{4},Y_2=e^{6};
comparar P_2^{(exato)} com o valor real e^{3} para obter o erro de interpolação puro;
comparar P_2^{(arred)} com P_2^{(exato)} para obter o efeito apenas do arredondamento;
comparar P_2^{(arred)} com e^{3} para ver o erro total.
Passo 7
Calcular P_2^{(exato)}(1{,}5) explicitamente (usar a mesma fórmula em frações):
Breve interpretação pedagógica (sem cálculos adicionais): o erro principal é o erro de interpolação (mais de 26 unidades) — a razão é que um polinômio de grau 2 que passa por pontos com crescimento exponencial pode oscilar muito entre nós; o pequeno E_{arred} mostra que o arredondamento dos Y na tabela contribuiu praticamente nada para o grande erro total.
Resposta
(a) y(1{,}5)\approx -6{,}71.
(b) Erros:
Erro de interpolação (usando Y exatos): E_{interp}\approx 26{,}79.
Erro devido ao arredondamento dos Y da tabela: E_{arred}\approx 0{,}00284.
Erro total (valor real e^{3} vs interpolação com valores tabelados): E_{total}\approx 26{,}79.