Seja y=e^{2 x}, a função tabelada abaixo. Usando 2 casas de arredondamento.
x 1 2 3
Y 7,39 54,60 403,42
a) Use a interpolação polinomial para estimar o valor de y quando x=1,5.
b) Determine o erro de truncamento, causado pelo arredondamento e interpolação.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com três pontos da função y=e^{2x}, já arredondados com 2 casas decimais:
  • x_0=1,\; Y_0=7{,}39 (peguei este valor da tabela);
  • x_1=2,\; Y_1=54{,}60 (peguei este valor da tabela);
  • x_2=3,\; Y_2=403{,}42 (peguei este valor da tabela).
O que o enunciado pede:
(a) estimar y em x=1{,}5 usando interpolação polinomial (usando os valores tabelados);
(b) determinar o erro de truncamento / arredondamento e o erro de interpolação (ou seja: quantificar quanto vem do arredondamento dos Y e quanto vem da própria aproximação polinomial).

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar (sem resolver ainda): usar interpolação polinomial de grau 2 com os três pontos. Uma forma prática e direta é usar a forma de Lagrange do polinômio interpolador P_2(x):
P_2(x)=\sum_{j=0}^{2} Y_j\; \ell_j(x),
onde as bases de Lagrange são
\ell_j(x)=\prod_{\substack{m=0\\\ m\ne j}}^{2}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
Vou avaliar P_2 em x=1{,}5. Também vou usar a forma simplificada que aparece ao calcular \ell_j(1{,}5) — isso facilita os cálculos sem perder precisão.

Passo 3

Calcular as bases de Lagrange em x=1{,}5 de forma exata (frações), para evitar erros de arredondamento nas etapas:
\ell_0(1{,}5)=\frac{(1{,}5-2)(1{,}5-3)}{(1-2)(1-3)}=\frac{(-0{,}5)(-1{,}5)}{(-1)(-2)}=\frac{0{,}75}{2}=\frac{3}{8}=0{,}375,
\ell_1(1{,}5)=\frac{(1{,}5-1)(1{,}5-3)}{(2-1)(2-3)}=\frac{(0{,}5)(-1{,}5)}{1\cdot(-1)}=\frac{-0{,}75}{-1}=\frac{3}{4}=0{,}75,
\ell_2(1{,}5)=\frac{(1{,}5-1)(1{,}5-2)}{(3-1)(3-2)}=\frac{(0{,}5)(-0{,}5)}{2\cdot1}=\frac{-0{,}25}{2}=-\frac{1}{8}=-0{,}125.
Verificação rápida: \ell_0+\ell_1+\ell_2=0{,}375+0{,}75-0{,}125=1 (ok).

Passo 4

Escrever P_2(1{,}5) em forma de combinação linear conveniente (usando as frações acima). Usando os Y tabelados:
P_2(1{,}5)=\ell_0(1{,}5)Y_0+\ell_1(1{,}5)Y_1+\ell_2(1{,}5)Y_2 = \frac{3}{8}Y_0+\frac{3}{4}Y_1-\frac{1}{8}Y_2.
Colocando tudo sobre denominador 8:
P_2(1{,}5)=\frac{3Y_0+6Y_1-Y_2}{8}.

Passo 5

Calcular P_2(1{,}5) usando os valores arredondados da tabela (isto é o pedido de (a)):
Usando Y_0=7{,}39,\;Y_1=54{,}60,\;Y_2=403{,}42 (peguei estes valores da tabela),
3Y_0+6Y_1-Y_2 = 3\cdot 7{,}39 + 6\cdot 54{,}60 - 403{,}42.
Fazendo as multiplicações:
3\cdot 7{,}39 = 22{,}17,\qquad 6\cdot 54{,}60 = 327{,}60.
Logo o numerador é
22{,}17 + 327{,}60 - 403{,}42 = -53{,}65.
Dividindo por 8:
P_2(1{,}5)=\frac{-53{,}65}{8}=-6{,}70625.
Arredondando a resposta conforme hábito de duas casas decimais (ou conforme pedido de utilização de 2 casas na tabela), obtemos
P_2(1{,}5)\approx -6{,}71.
Esse é o valor estimado de y em x=1{,}5 usando a interpolação com os valores tabelados.

Passo 6

Agora vamos quantificar os erros pedidos em (b). Existem duas fontes que o enunciado menciona:
  1. erro devido ao arredondamento dos Y na tabela (isto é, usar 7{,}39,54{,}60,403{,}42 em vez dos valores exactos e^{2},e^{4},e^{6});
  2. erro de interpolação (resíduo do polinômio), que é a diferença entre o valor real f(1{,}5)=e^{3} e o polinômio interpolador construído com os valores exactos.
Para separar as duas fontes, vou:
  • calcular P_2^{(arred)}(1{,}5): o polinômio obtido com os Y arredondados (já calculado: -6{,}70625);
  • calcular P_2^{(exato)}(1{,}5): o polinômio de interpolação de grau 2 construído com os valores exactos Y_0=e^{2},Y_1=e^{4},Y_2=e^{6};
  • comparar P_2^{(exato)} com o valor real e^{3} para obter o erro de interpolação puro;
  • comparar P_2^{(arred)} com P_2^{(exato)} para obter o efeito apenas do arredondamento;
  • comparar P_2^{(arred)} com e^{3} para ver o erro total.

Passo 7

Calcular P_2^{(exato)}(1{,}5) explicitamente (usar a mesma fórmula em frações):
P_2^{(exato)}(1{,}5)=\frac{3e^{2}+6e^{4}-e^{6}}{8}.
Usando valores numéricos mais precisos:
e^{2}\approx 7{,}38905609893065,\quad e^{4}\approx 54{,}59815003314424,\quad e^{6}\approx 403{,}4287934927351.
Calculemos o numerador:
3e^{2}\approx 22{,}1671682968,\qquad 6e^{4}\approx 327{,}5889001989.
3e^{2}+6e^{4}-e^{6}\approx 22{,}1671682968+327{,}5889001989-403{,}4287934927\approx -53{,}6727249971.
Dividindo por 8:
P_2^{(exato)}(1{,}5)\approx -6{,}7090906246.

Passo 8

Calcular os erros numéricos (valores aproximados, com sentido físico de “quanto difere”):
  • Valor verdadeiro em x=1{,}5:
f(1{,}5)=e^{3}\approx 20{,}0855369232.
  • Erro de interpolação (usando os Y exatos): diferença entre o valor real e o polinômio construído com valores exatos:
E_{interp}=\big|e^{3}-P_2^{(exato)}(1{,}5)\big| \approx 20{,}0855369232 - (-6{,}7090906246) \approx 26{,}7946275478.
  • Erro devido ao arredondamento dos Y (diferença entre o polinômio com valores arredondados e o polinômio com valores exatos):
E_{arred}=\big|P_2^{(arred)}(1{,}5)-P_2^{(exato)}(1{,}5)\big| \approx \big|-6{,}70625 - (-6{,}7090906246)\big| \approx 0{,}0028406246.
(Observe: este é pequeno; o grosso do erro vem da má aproximação polinomial.)
  • Erro total (diferença entre valor real e polinômio calculado com os Y arredondados):
E_{total}=\big|e^{3}-P_2^{(arred)}(1{,}5)\big| \approx 20{,}0855369232 - (-6{,}70625) \approx 26{,}7917869232.
Breve interpretação pedagógica (sem cálculos adicionais): o erro principal é o erro de interpolação (mais de 26 unidades) — a razão é que um polinômio de grau 2 que passa por pontos com crescimento exponencial pode oscilar muito entre nós; o pequeno E_{arred} mostra que o arredondamento dos Y na tabela contribuiu praticamente nada para o grande erro total.

Resposta

(a) y(1{,}5)\approx -6{,}71.
(b) Erros:
Erro de interpolação (usando Y exatos): E_{interp}\approx 26{,}79.
Erro devido ao arredondamento dos Y da tabela: E_{arred}\approx 0{,}00284.
Erro total (valor real e^{3} vs interpolação com valores tabelados): E_{total}\approx 26{,}79.

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