Considere a tabela:
x y
4,0 18,6
8,0 25,8
a) Encontre uma equação para a reta que passa pelos pontos dados.
b) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=5,5.
c) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=7,5.

Passo 1

O enunciado dá duas observações da forma par (x,y) e pede três coisas. Dados:
  • ponto 1: x=4,0 e y=18,6.
  • ponto 2: x=8,0 e y=25,8.
Perguntas a responder:
a) Encontrar uma equação da reta que passa por esses dois pontos.
b) Estimar o valor de y para x=5,5.
c) Estimar o valor de y para x=7,5.

Passo 2

Para achar a reta precisamos primeiro calcular a inclinação (declive), chamada de m. A fórmula para o declive entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é:
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
onde m representa quanto y varia quando x aumenta de uma unidade (ou seja, “subida sobre corrida”). Aqui vamos identificar (x_1,y_1)=(4,0,\,18,6) e (x_2,y_2)=(8,0,\,25,8) e substituir na fórmula.
Calcule as diferenças:
y_2-y_1 = 25,8-18,6 = 7,2,
x_2-x_1 = 8,0-4,0 = 4,0.
Agora o declive:
m=\frac{7,2}{4,0}=1,8.
Interpretação rápida: para cada aumento de 1 em x, y aumenta 1,8.

Passo 3

A forma geral da reta que vamos usar é
y = m x + b,
onde m é o declive (já calculado) e b é o coeficiente linear (intercepto), ou seja, o valor de y quando x=0. Para encontrar b substituímos um dos pontos conhecidos na equação e resolvemos para b.
Usando o ponto (x_1,y_1)=(4,0,\,18,6):
18,6 = 1,8\cdot 4,0 + b.
Calcule 1,8\cdot 4,0:
1,8\cdot 4,0 = 7,2.
Então
b = 18,6 - 7,2 = 11,4.

Passo 4

Agora escrevemos a equação final da reta com m e b encontrados:
y = 1,8x + 11,4.
Breve interpretação: se x crescer de 1, y cresce 1,8; quando x=0, a reta cruza o eixo y em 11,4.

Passo 5

Estimativa para x=5,5. Substituímos na equação da reta:
y(5,5) = 1,8\cdot 5,5 + 11,4.
Calcule 1,8\cdot 5,5. Uma forma fácil de ver é 1,8\cdot 5,5 = \frac{18}{10}\cdot\frac{11}{2} = \frac{198}{20}=9,9. Então
y(5,5) = 9,9 + 11,4 = 21,3.

Passo 6

Estimativa para x=7,5. Substituímos:
y(7,5) = 1,8\cdot 7,5 + 11,4.
Calcule 1,8\cdot 7,5. Uma forma rápida: 1,8\cdot 7,5 = \frac{18}{10}\cdot\frac{15}{2}=\frac{270}{20}=13,5. Então
y(7,5) = 13,5 + 11,4 = 24,9.

Passo 7

Verificação rápida (confiança): para x=8,0 a equação dá y=1,8\cdot 8,0 + 11,4 = 14,4+11,4=25,8, que coincide com o ponto dado. Bom sinal que os cálculos estão corretos.

Resposta

y=1,8x+11,4
y(5,5)=21,3
y(7,5)=24,9

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