Um processo com arame farpado dá um produto com resistência média de 200 psi. O desvio padrão do processo é de 20 psi. O engenheiro de controle de qualidade deseja elaborar um teste que indique se houve ou não variação na média do processo, usando uma amostra de tamanho 26 e um nível de significância de 0,05. Supondo aproximação normal para as medidas de resistências, podemos concluir que a média do processo se afastou de 200 psi? O engenheiro calculou 210 como sendo a média da amostra por ele selecionada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um processo que produz arame farpado com uma resistência média de 200 psi e um desvio padrão de 20 psi. O engenheiro quer testar se a média desse processo mudou, usando uma amostra de 26 produtos e um nível de significância de 5% (0,05). A média da amostra que ele encontrou foi de 210 psi. Vamos usar estatística inferencial, mais especificamente o teste de hipótese para a média, para descobrir se essa mudança é significativa ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer nossas hipóteses. Em testes de hipóteses, temos:
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Hipótese Nula (H₀): A média do processo permanece igual a 200 psi.$ H_0: \mu = 200 , psi $
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Hipótese Alternativa (H₁): A média do processo é diferente de 200 psi.$ H_1: \mu \neq 200 , psi $
Esse é um teste bicaudal porque estamos verificando se a média mudou para qualquer lado, não apenas se aumentou ou diminuiu.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como conhecemos o desvio padrão da população (20 psi) e temos uma amostra menor que 30, vamos usar o teste z.
A fórmula para o teste z é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra (210 psi),
- $ \mu $ é a média da população sob H₀ (200 psi),
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população (20 psi),
- $ n $ é o tamanho da amostra (26).
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, calculamos o z:
Passo 5
Com o valor de z calculado (~2,55), vamos compará-lo com o valor crítico para um nível de significância de 0,05 em um teste bicaudal. Para 0,05 de significância, cada cauda tem 0,025.
Consultando a tabela z, o valor crítico para 0,025 em cada cauda é aproximadamente 1,96.
Passo 6
Agora, comparamos nosso z calculado com o valor crítico:
Como o valor de z está além do valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Sim, há evidências suficientes para concluir que a média do processo se afastou de 200 psi.