Seja
85). Retiramos uma amostra de tamanho
. Determinar:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média 100 e variância 85, isto é, $ X \sim N(100, 85) $. Tiramos uma amostra de tamanho $ n = 20 $ e queremos descobrir a probabilidade de que a média dessa amostra $ \bar{X} $ seja maior que 101, ou seja, $ P(\bar{X} > 101) $. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e a distribuição normal padrão.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição da média amostral $ \bar{X} $. Quando temos uma amostra de tamanho $ n $ de uma distribuição normal, a média dessa amostra também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é igual à média da população, e a variância é a variância da população dividida pelo tamanho da amostra. Então, temos:
No nosso caso, $ \mu = 100 $ e $ \sigma^2 = 85 $, com $ n = 20 $.
Passo 3
Vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição da média amostral $ \bar{X} $:
Então, $ \sigma_{\bar{X}} \approx 2.063 $.
Passo 4
Agora, queremos encontrar $ P(\bar{X} > 101) $. Para isso, vamos padronizar essa probabilidade usando a distribuição normal padrão $ Z $. A fórmula para padronizar é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com o valor de $ Z $ calculado, queremos encontrar a probabilidade de $ Z $ ser maior que 0.485, ou seja, $ P(Z > 0.485) $. Para isso, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora de probabilidades.
Consultando a tabela, encontramos que $ P(Z < 0.485) \approx 0.6844 $. Como a distribuição normal é simétrica, a probabilidade de $ Z $ ser maior que 0.485 é:
Resposta
A probabilidade de que a média amostral seja maior que 101 é aproximadamente 31,56%.