Numa rodovia federal, medindo-se a posição de um ônibus que partiu do marco zero da rodovia, obtiveram-se as seguintes marcações:
T (minutos) 60 80 100 120 140 160 180
\mathrm{D}(\mathrm{km}) 76 95 112 138 151 170 192
Utilize a Forma de Newton para encontrar um polinômio de grau 3 que aproxime o posicionamento do ônibus para os tempos de:
130 minutos

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a posição de um ônibus em função do tempo usando um polinômio de grau 3, empregando o método de diferenças divididas de Newton. Vamos selecionar quatro pontos próximos a T=130, calcular as diferenças divididas até a terceira ordem e montar o polinômio de Newton.

Passo 2

Escolhemos os nós (T,D) mais próximos de 130:
(t_0,D_0) = (100,112),\quad (t_1,D_1) = (120,138),\quad (t_2,D_2) = (140,151),\quad (t_3,D_3) = (160,170).

Passo 3

Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[t_0,t_1] = \frac{138 - 112}{120 - 100} = \frac{26}{20} = 1,3,
f[t_1,t_2] = \frac{151 - 138}{140 - 120} = \frac{13}{20} = 0,65,
f[t_2,t_3] = \frac{170 - 151}{160 - 140} = \frac{19}{20} = 0,95.

Passo 4

Agora as diferenças divididas de segunda e terceira ordem:
f[t_0,t_1,t_2] = \frac{0,65 - 1,3}{140 - 100} = \frac{-0,65}{40} = -0,01625,
f[t_1,t_2,t_3] = \frac{0,95 - 0,65}{160 - 120} = \frac{0,30}{40} = 0,0075,
f[t_0,t_1,t_2,t_3] = \frac{0,0075 - (-0,01625)}{160 - 100} = \frac{0,02375}{60} \approx 0,0003958333.

Passo 5

O polinômio de Newton de grau 3 fica
P_3(t) = 112 + 1,3\,(t - 100) - 0,01625\,(t - 100)(t - 120) + 0,0003958333\,(t - 100)(t - 120)(t - 140).

Passo 6

Avaliaremos P_3 em t=130:
P_3(130) = 112 + 1,3\cdot 30 - 0,01625\cdot(30\cdot 10) + 0,0003958333\cdot(30\cdot 10\cdot(-10)) \approx 144,94.

Resposta

A posição aproximada do ônibus em 130 minutos é de aproximadamente 144,94 km.

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