Se o processo de contagem N(t) ; t >= 0 é um processo de Poisson com taxa lambda=15. Calcule Var[N(6)-N(20)+5 N(56)].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que Varl[N(6) - N(20) + 5,N(56)r] é um processo de Poisson com taxa . A tarefa é achar
O conteúdo envolvido é processo de Poisson, mais especificamente:
  • Incrementos independentes,
  • Para um processo de Poisson, ,
  • Se e são independentes, .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o processo em três incrementos independentes:
  • E[A] = Var(A) = 15 times 6 = 90, E[B] = Var(B) = 15 times (20-6) = 210, E[C] = Var(C) = 15 times (56-20) = 540 ,
  • N(6) - N(20) + 5,N(56) = A - (A+B) + 5,(A+B+C) ,
  • = A - A - B + 5A + 5B + 5C = 5A + 4B + 5C .
    Cada um é Poisson e independente.
    As médias (e variâncias) são
Agora reescrevemos a combinação
Desenvolvendo:

Passo 3

Como Var[5A + 4B + 5C] = 5^2 Var(A) + 4^2 Var(B) + 5^2 Var(C) , = 25 times 90 + 16 times 210 + 25 times 540 e 2250 + 3360 + 13500 = 19110 são independentes,
Substituindo os valores:
Calculemos passo a passo:
  • ,
  • ,
  • .
Somando tudo:

Resposta

Exercícios relacionados