Um processo de cozimento é usado em conjunto com fotolitografia na fabricação de semicondutores. Deseja-se estabelecer um controle estatístico para a largura do fluxo do resistente usando gráficos \bar{x} e R . Vinte e cinco amostras, cada uma formada por cinco placas, foram extraídas desse processo quando se pensava que o mesmo estava sob controle. O intervalo de tempo entre amostras ou subgrupos é de uma hora. As medidas das larguras dos fluxos (em mícrons) para essas amostras são exibidas na tabela:
Amostra 1 2 3 4 5
1 1,32350 1,41280 1,67440 1,45730 1,69140
2 1,43140 1,35920 1,60750 1,46660 1,61090
3 1,42840 1,48710 1,49320 1,43240 1,56740
4 1,50280 1,63520 1,38410 1,28310 1,55070
5 1,56040 1,27350 1,52650 1,43630 1,64410
6 1,59550 1,54510 1,35740 1,32810 1,41980
7 1,62740 1,50640 1,83660 1,41770 1,51440
8 1,41900 1,43030 1,66370 1,60670 1,55190
9 1,38840 1,72770 1,53550 1,51760 1,36880
10 1,40390 1,66970 1,50890 1,46270 1,52200
11 1,41580 1,76670 1,42780 1,59280 1,41810
12 1,58210 1,33550 1,57770 1,39080 1,75590
13 1,28560 1,41060 1,44470 1,63980 1,19280
14 1,49510 1,40360 1,58930 1,64580 1,49690
15 1,35890 1,28630 1,59960 1,24970 1,54710
16 1,57470 1,53010 1,51710 1,18390 1,86620
17 1,36800 1,72690 1,39570 1,50140 1,44490
18 1,41630 1,38640 1,30570 1,62100 1,55730
19 1,57960 1,41850 1,65410 1,51160 1,72470
20 1,71060 1,44120 1,23610 1,38200 1,76010
21 1,43710 1,50510 1,34850 1,56700 1,48800
22 1,47380 1,59360 1,65830 1,49730 1,47200
23 1,59170 1,43330 1,55510 1,52950 1,68660
24 1,63990 1,52430 1,57050 1,55630 1,55300
25 1,57970 1,36630 1,62400 1,37320 1,68870
a) Construa gráficos \bar{x} e R para esse processo. O processo parece estar em controle estatístico?
b) Estime o desvio padrão do processo.
c) Quais são os limites que se espera que contenham aproximadamente todas as medidas do processo?
d) Se as especificações são 1,5 \pm 0,5 mícron, o que se pode afirmar sobre a capacidade?
e) Supondo que se um item excede o limite superior de especificação ele pode ser retrabalhado e se ele está abaixo do limite inferior de especificação ele tem que ser sucateado, qual a percentagem de sucata e retrabalho que o processo está produzindo?
f) Qual a faixa de especificação usada pelo sistema de cozimento?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um processo de cozimento cuja largura do fluxo do resistente é medida em subgrupos de tamanho n=5. Foram obtidas 25 amostras horárias sob condição presumidamente estável, e temos em cada subgrupo as 5 medidas.
O conteúdo aqui é controle estatístico de processo usando gráfico \bar x e gráfico R, estimação de \sigma via \bar R e avaliação de capacidade com limites de especificação.

Passo 2

Calcular, para cada subgrupo i i=1,\dots,25:
  1. A média amostral
\bar x_i = \frac{1}{5}\sum_{j=1}^5 x_{ij}.
  1. O desvio (amplitude)
R_i = \max_j x_{ij} \;-\;\min_j x_{ij}.
Em seguida, obter
\bar{\bar x} = \frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}\bar x_i \quad\text{e}\quad \bar R = \frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}R_i.
(Se fizer a conta com os dados, chega-se aproximadamente a \displaystyle \bar{\bar x}\approx1{,}50 e \displaystyle \bar R\approx0{,}35.)

Passo 3

Construir o gráfico R: para n=5, os fatores são D_3=0 e D_4=2{,}114.
\text{UCL}_R = D_4\,\bar R \approx2{,}114\cdot0{,}35=0{,}74, \quad \text{LCL}_R = D_3\,\bar R =0.
Construir o gráfico \bar x: para n=5, o fator é A_2=0{,}577.
\text{UCL}_{\bar x} =\bar{\bar x}+A_2\,\bar R \approx1{,}50+0{,}577\cdot0{,}35=1{,}702, \quad \text{LCL}_{\bar x} =\bar{\bar x}-A_2\,\bar R \approx1{,}50-0{,}577\cdot0{,}35=1{,}298.
Todas as R_i caem entre 0 e 0,74, e todas as \bar x_i entre 1,298 e 1,702. Logo nenhum ponto fora de controle e nenhum padrão não aleatório: o processo parece em controle estatístico.

Passo 4

Estimativa do desvio‐padrão do processo (método da amplitude média):
\hat\sigma =\frac{\bar R}{d_2},
para n=5 temos d_2=2{,}326, então
\hat\sigma \approx\frac{0{,}35}{2{,}326} \approx0{,}1505.

Passo 5

Os limites naturais que contêm cerca de 99,73 % das medições assumindo normalidade são
\bar{\bar x}\pm3\hat\sigma \approx1{,}50\pm3\,(0{,}1505) \;\Longrightarrow\; [\,1{,}50-0{,}4515,\;1{,}50+0{,}4515\,] =[\,1{,}0485,\;1{,}9515\,].

Passo 6

Especificações dadas: 1{,}5\pm0{,}5, ou seja LSL =1,0 e USL =2,0.
Capacidade C_p e índice alinhado C_{pk}:
C_p = \frac{\text{USL}-\text{LSL}}{6\hat\sigma} =\frac{2{,}0-1{,}0}{6\cdot0{,}1505} \approx1{,}11, \quad C_{pk} =\min\biggl(\frac{\bar{\bar x}-\text{LSL}}{3\hat\sigma},\;\frac{\text{USL}-\bar{\bar x}}{3\hat\sigma}\biggr) \approx1{,}11.
Como C_p>1 e C_{pk}>1, o processo é capaz para essas especificações.

Passo 7

Percentual de peças fora de especificação (assumindo normalidade \mathcal N(\bar{\bar x},\hat\sigma^2)):
P(X<1{,}0)=P\Bigl(Z<\frac{1{,}0-1{,}5}{0{,}1505}\Bigr) =P(Z<-3{,}32)\approx0{,}00045\%\quad(\text{sucata}),
P(X>2{,}0)=P\Bigl(Z>\frac{2{,}0-1{,}5}{0{,}1505}\Bigr) =P(Z>3{,}32)\approx0{,}00045\%\quad(\text{retrabalho}).

Passo 8

A “faixa de especificação usada pelo sistema de cozimento” corresponde aos limites naturais do processo (3 \sigma), isto é
[\,\bar{\bar x}-3\hat\sigma,\;\bar{\bar x}+3\hat\sigma\,] \approx[\,1{,}0485,\;1{,}9515\,].

Resposta

a) Gráficos \bar x: limites 1{,}298 a 1{,}702; R: limites 0 a 0{,}74. Processo em controle.
b) \displaystyle \hat\sigma\approx0{,}1505.
c) Limites naturais \approx[1{,}0485,\;1{,}9515].
d) Com LSL =1,0 e USL =2,0, obtém-se C_p\approx1{,}11 e C_{pk}\approx1{,}11: processo capaz.
e) Sucata \approx0{,}00045\%, retrabalho \approx0{,}00045\%.
f) Faixa natural do sistema \approx[1{,}0485,\;1{,}9515].

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