Em um processo de destilação, foram realizadas medições da temperatura do líquido destilado em diferentes momentos de tempo. Os valores obtidos foram:
Tempo (min) 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Temperatura |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline Tempo (min) & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 hline Temperatura (( ^circ C)) & 78 & 79 & 80 & 81 & 82 & 83 & 84 & 85 & 86 hline 78 79 80 81 82 83 84 85 86
Suponha que a relação entre a temperatura e o tempo seja linear. Determine a equação da reta que melhor se ajusta aos dados experimentais, utilizando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra ajustar uma reta aos dados de tempo (em minutos) e temperatura (ºC) usando o método dos mínimos quadrados, ou seja, encontrar a equação
y = m x + b
que melhor “passa” pelos pontos. Esse assunto é de regressão linear simples. Pra resolver, a gente vai precisar:
• Somar todas as abscissas , ordenadas , os quadrados e os produtos .
• Usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para calcular o coeficiente angular e o coeficiente linear .

Passo 2

Teoria rápida de mínimos quadrados: a reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros m = nsum xi yi ;-;sum xi sum yi,nsum xi^2 ;-;(sum xi)^2,, b = sum yi - m,sum xin, tem:
onde é o número de pontos (aqui, ).

Passo 3

Vamos calcular os somatórios simples:
sum xi = 0 + 10 + 20 + dots +80 = 360, sum yi = 78 + 79 + dots +86 = 738

Passo 4

Agora os somatórios “pesados”:
sum xi^2 = 0^2 +10^2 +20^2 + dots +80^2 = 20,400,
sum xi yi = sumi=0^8 (10i),(78 + i) = 30,120

Passo 5

Bora aplicar as fórmulas:
m = 9cdot30120 - 360cdot7389cdot20400 - 360^2 = 271080 - 265680183600 - 129600 = 540054000 = 0.1,
b = 738 - 0.1cdot3609 = 738 - 369 = 7029 = 78

Resposta

A reta de melhor ajuste é
boxedy = 0.1,x + 78

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