Em um processo de destilação, foram realizadas medições da temperatura do líquido destilado em diferentes momentos de tempo. Os valores obtidos foram:
Tempo (min)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Temperatura
78
79
80
81
82
83
84
85
86
Suponha que a relação entre a temperatura e o tempo seja linear. Determine a equação da reta que melhor se ajusta aos dados experimentais, utilizando o método dos mínimos quadrados.
Tempo (min) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
Temperatura
|
78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 |
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra ajustar uma reta aos dados de tempo (em minutos) e temperatura (ºC) usando o método dos mínimos quadrados, ou seja, encontrar a equação
que melhor “passa” pelos pontos. Esse assunto é de regressão linear simples. Pra resolver, a gente vai precisar:
• Somar todas as abscissas , ordenadas
, os quadrados
e os produtos
.
• Usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para calcular o coeficiente angular e o coeficiente linear
.
• Somar todas as abscissas
• Usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para calcular o coeficiente angular
Passo 2
Teoria rápida de mínimos quadrados: a reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros
tem:
onde
é o número de pontos (aqui,
).
Passo 3
Vamos calcular os somatórios simples:
Passo 4
Agora os somatórios “pesados”:
Passo 5
Bora aplicar as fórmulas:
Resposta
A reta de melhor ajuste é