Num processo de fabricação de pratos de porcelana 8 % destes pratos apresentam algum tipo de defeito (pontos salientes ou reentrâncias). No controle de qualidade apenas 90 % dos defeituosos são retidos, sendo que os demais passam para a seção de empacotamento e são embalados em caixas contendo 6 unidades. Se você adquirir uma destas caixas:
b) Qual é a probabilidade de encontrar no máximo 2 pratos defeituosos? (R.: 0,9999)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. A gente está trabalhando com a fabricação de pratos de porcelana, onde 8% dos pratos têm algum defeito. No controle de qualidade, só 90% desses defeituosos são pegos, o que significa que 10% passam para a embalagem. Cada caixa tem 6 pratos. A pergunta é: Qual é a probabilidade de encontrar no máximo 2 pratos defeituosos em uma caixa?
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de um número específico de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem duas possíveis saídas (sucesso ou falha) com probabilidades constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a probabilidade de um prato ser defeituoso e passar para a embalagem. Sabemos que:
  • 8% dos pratos são defeituosos.
  • 90% desses defeituosos são retidos no controle de qualidade, então 10% passam para a embalagem.
Então, a probabilidade total de um prato ser defeituoso e chegar na caixa é:
Pdefeito = 0.08 times 0.10 = 0.008
Isso significa que cada prato tem 0,8% de chance de ser defeituoso na caixa.

Passo 3

Agora, usamos a Distribuição Binomial para calcular a probabilidade de encontrar até 2 pratos defeituosos em uma caixa de 6 unidades. A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n = 6 $ (número de pratos na caixa)
  • $ k $ é o número de pratos defeituosos (nós queremos $ k \leq 2 $)
  • $ p = 0.008 $ (probabilidade de um prato ser defeituoso)

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade para $ k = 0 $, $ k = 1 $ e $ k = 2 $ e somar esses valores para obter a probabilidade de no máximo 2 defeituosos.
  1. Para $ k = 0 $:
k = 0
  1. Para $ k = 1 $:
k = 1
  1. Para $ k = 2 $:
k = 2

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para obter a probabilidade total de ter no máximo 2 pratos defeituosos:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.952 + 0.046 + 0.000928 approx 0.999

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 2 pratos defeituosos em uma caixa é aproximadamente 0,9999.

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