O sistema de atendimento utilizado por uma central telefônica possui telefonistas para atender às chamadas dos usuários. Uma certa telefonista recebe em média 0,20 chamadas por minuto, durante um turno de trabalho de 6 horas consecutivas. Qual é a probabilidade de que esta telefonista:
c) na primeira hora receba 10 chamadas? (R.: 0,1048)

Passo 1

Vamos entender a questão: queremos descobrir a probabilidade de que uma telefonista receba exatamente 10 chamadas na primeira hora de um turno de 6 horas, sabendo que, em média, ela recebe 0,20 chamadas por minuto.
Conteúdo da matéria: Distribuição de Poisson, que é usada para calcular a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos ocorrem de forma independente e com uma taxa média conhecida.
O que vamos precisar: A média de chamadas por hora e a fórmula da distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de chamadas por hora. Sabemos que a telefonista recebe, em média, 0,20 chamadas por minuto.
lambda = 0,20 , chamadas/minuto times 60 , minutos = 12 , chamadas/hora
Aqui, $ \lambda $ representa a média de eventos (chamadas) por intervalo de tempo (hora).

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de receber exatamente 10 chamadas em uma hora. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k , e^-lambdak!
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a média de eventos por intervalo de tempo.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula para $ k = 10 $ e $ \lambda = 12 $:
k = 10

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores:
  1. Calcular $ 12^{10} $:
12^10
  1. Calcular $ e^{-12} $:
12^10 = 61917364224
  1. Calcular $ 10! $:
e^-12
  1. Substituir e calcular a probabilidade:
e^-12 approx 6,144212 times 10^-6

Resposta

A probabilidade de que a telefonista receba exatamente 10 chamadas na primeira hora é aproximadamente $ 0{,}1048 $.

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