Num processo de fabricação de pratos de porcelana
destes pratos apresentam algum tipo de defeito (pontos salientes ou reentrâncias). No controle de qualidade apenas
dos defeituosos são retidos, sendo que os demais passam para a seção de empacotamento e são embalados em caixas contendo 6 unidades. Se você adquirir uma destas caixas:
c) Para efeito de transporte estas caixas são acondicionadas em lotes de 10, qual é a probabilidade de que, ao analisarmos um destes lotes, tenhamos mais de 8 caixas com no máximo 2 pratos defeituosos? (R.: 1,0)
c) Para efeito de transporte estas caixas são acondicionadas em lotes de 10, qual é a probabilidade de que, ao analisarmos um destes lotes, tenhamos mais de 8 caixas com no máximo 2 pratos defeituosos? (R.: 1,0)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Estamos falando sobre um processo de fabricação de pratos de porcelana onde 8% dos pratos têm defeitos. No controle de qualidade, somente 90% desses defeituosos são retidos, ou seja, 10% acabam passando para a embalagem. Esses pratos vão para caixas com 6 unidades cada. Agora, queremos saber a probabilidade de que, em um lote de 10 caixas, mais de 8 delas tenham no máximo 2 pratos defeituosos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um prato ser defeituoso e passar para a embalagem. Sabemos que 8% dos pratos são defeituosos, ou seja, $ P(D) = 0,08 $. Desses, 10% não são retidos no controle de qualidade e vão para a embalagem, então a probabilidade de um prato ser defeituoso e estar na embalagem é $ P(D \cap E) = 0,08 \times 0,10 = 0,008 $.
Passo 3
Agora, consideramos uma caixa com 6 pratos. Queremos saber a probabilidade de, em uma caixa, ter no máximo 2 pratos defeituosos. Isso segue uma distribuição binomial, onde cada prato tem uma probabilidade de 0,008 de ser defeituoso na embalagem e 0,992 de não ser defeituoso.
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde:
- $ n = 6 $ (número de pratos por caixa)
- $ k $ é o número de pratos defeituosos (nesse caso, $ k \leq 2 $)
- $ p = 0,008 $ (probabilidade de um prato ser defeituoso na embalagem)
Passo 4
Calculamos $ P(k \leq 2) $ somando as probabilidades de ter 0, 1 ou 2 pratos defeituosos na caixa:
Vamos calcular cada termo:
Somando:
Então, a probabilidade de uma caixa ter no máximo 2 pratos defeituosos é aproximadamente 99,9%.
Passo 5
Agora, temos lotes de 10 caixas para transporte. Queremos a probabilidade de que mais de 8 caixas (ou seja, 9 ou 10 caixas) tenham no máximo 2 pratos defeituosos. Porém, como a probabilidade de cada caixa ter no máximo 2 defeitos é muito alta (99,9%), praticamente todas as caixas em um lote de 10 terão no máximo 2 defeitos.
Matematicamente, a probabilidade de 9 caixas terem no máximo 2 defeitos é:
E a probabilidade de todas as 10 caixas terem no máximo 2 defeitos é:
Somando as duas probabilidades:
Portanto, a probabilidade de que mais de 8 caixas em um lote de 10 tenham no máximo 2 pratos defeituosos é de aproximadamente 99,9%, que arredondando dá 1,0.
Resposta
A probabilidade de ter mais de 8 caixas com no máximo 2 pratos defeituosos em um lote de 10 é aproximadamente 1,0.