Num processo de fabricação de pratos de porcelana 8 % destes pratos apresentam algum tipo de defeito (pontos salientes ou reentrâncias). No controle de qualidade apenas 90 % dos defeituosos são retidos, sendo que os demais passam para a seção de empacotamento e são embalados em caixas contendo 6 unidades. Se você adquirir uma destas caixas:
c) Para efeito de transporte estas caixas são acondicionadas em lotes de 10, qual é a probabilidade de que, ao analisarmos um destes lotes, tenhamos mais de 8 caixas com no máximo 2 pratos defeituosos? (R.: 1,0)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Estamos falando sobre um processo de fabricação de pratos de porcelana onde 8% dos pratos têm defeitos. No controle de qualidade, somente 90% desses defeituosos são retidos, ou seja, 10% acabam passando para a embalagem. Esses pratos vão para caixas com 6 unidades cada. Agora, queremos saber a probabilidade de que, em um lote de 10 caixas, mais de 8 delas tenham no máximo 2 pratos defeituosos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um prato ser defeituoso e passar para a embalagem. Sabemos que 8% dos pratos são defeituosos, ou seja, $ P(D) = 0,08 $. Desses, 10% não são retidos no controle de qualidade e vão para a embalagem, então a probabilidade de um prato ser defeituoso e estar na embalagem é $ P(D \cap E) = 0,08 \times 0,10 = 0,008 $.

Passo 3

Agora, consideramos uma caixa com 6 pratos. Queremos saber a probabilidade de, em uma caixa, ter no máximo 2 pratos defeituosos. Isso segue uma distribuição binomial, onde cada prato tem uma probabilidade de 0,008 de ser defeituoso na embalagem e 0,992 de não ser defeituoso.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
  • $ n = 6 $ (número de pratos por caixa)
  • $ k $ é o número de pratos defeituosos (nesse caso, $ k \leq 2 $)
  • $ p = 0,008 $ (probabilidade de um prato ser defeituoso na embalagem)

Passo 4

Calculamos $ P(k \leq 2) $ somando as probabilidades de ter 0, 1 ou 2 pratos defeituosos na caixa:
P(k <= 2)
Vamos calcular cada termo:
P(k <= 2) = P(0) + P(1) + P(2)
P(0) = binom60 (0,008)^0 (0,992)^6 approx 0,952
P(1) = binom61 (0,008)^1 (0,992)^5 approx 0,045
Somando:
P(2) = binom62 (0,008)^2 (0,992)^4 approx 0,002
Então, a probabilidade de uma caixa ter no máximo 2 pratos defeituosos é aproximadamente 99,9%.

Passo 5

Agora, temos lotes de 10 caixas para transporte. Queremos a probabilidade de que mais de 8 caixas (ou seja, 9 ou 10 caixas) tenham no máximo 2 pratos defeituosos. Porém, como a probabilidade de cada caixa ter no máximo 2 defeitos é muito alta (99,9%), praticamente todas as caixas em um lote de 10 terão no máximo 2 defeitos.
Matematicamente, a probabilidade de 9 caixas terem no máximo 2 defeitos é:
P(9) = binom109 (0,999)^9 (0,001)^1 approx 0,009
E a probabilidade de todas as 10 caixas terem no máximo 2 defeitos é:
P(10) = binom1010 (0,999)^10 (0,001)^0 approx 0,990
Somando as duas probabilidades:
P(mais de 8 caixas) = P(9) + P(10) approx 0,009 + 0,990 = 0,999
Portanto, a probabilidade de que mais de 8 caixas em um lote de 10 tenham no máximo 2 pratos defeituosos é de aproximadamente 99,9%, que arredondando dá 1,0.

Resposta

A probabilidade de ter mais de 8 caixas com no máximo 2 pratos defeituosos em um lote de 10 é aproximadamente 1,0.

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