O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por T(t)=TA+alpha(3^beta t), onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e alpha e beta são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de -18^circ C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0^circ C após 90 minutos e chegou a -16^circ C após 270 minutos.
Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas (23)^circ C superior à temperatura ambiente. R: 6 horas

Passo 1

O enunciado descreve um resfriamento exponencial com
T(t)=TA+alpha,3^beta t,
onde TA é a temperatura ambiente do congelador (constante), e alpha,beta são constantes a determinar. Sabe-se que TA=-18^circC, que T(90)=0^circC e T(270)=-16^circC. Queremos achar t tal que T(t)=TA+tfrac23^circC.

Passo 2

Substituindo t=90 em T(t) e usando T(90)=0, temos
0 = -18 + alpha,3^betacdot90 Longrightarrow alpha,3^90beta = 18
Substituindo t=270 e T(270)=-16, obtemos
-16 = -18 + alpha,3^betacdot270 Longrightarrow alpha,3^270beta = 2

Passo 3

Dividindo a segunda equação pela primeira, elimina-se alpha:
alpha,3^270betaalpha,3^90beta = 218 Longrightarrow 3^180beta = 19 = 3^-2 Longrightarrow 180beta = -2 Longrightarrow beta = -190

Passo 4

Voltando à equação alpha,3^90beta=18 com beta=-tfrac190, temos
3^90beta = 3^-1 = tfrac13 Longrightarrow alpha cdot tfrac13 = 18 Longrightarrow alpha = 54

Passo 5

Assim, a temperatura em função de t (em minutos) é
T(t) = -18 + 54,3^-t/90

Passo 6

Queremos T(t)=-18+tfrac23. Então
-18 + 54,3^-t/90 = -18 + tfrac23 Longrightarrow 54,3^-t/90 = tfrac23 Longrightarrow 3^-t/90 = 23cdot154 = 181 = 3^-4
Logo -t/90 = -4, ou seja t/90=4, daí
t = 360 minutos

Passo 7

Convertendo 360 minutos em horas, obtemos
360 min = 6 horas

Resposta

O corpo atinge tfrac23^circC acima de TA após 6 horas.

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