Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot 1+nn^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n+1,n+1n^2
em convergência absoluta, condicional ou divergência. O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries: teste de convergência absoluta e teste de Leibniz (para séries alternantes).

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n+1,tfracn+1n^2r| =sumn=1^inftyn+1n^2 =sumn=1^inftyl(1n+1n^2r)
Como sumn=1^inftytfrac1n diverge (série harmônica), a soma das partes positivas também diverge. Logo a série não converge absolutamente.

Passo 3

Aplicamos o teste de Leibniz para séries alternantes. Seja
bn=n+1n^2
  1. Limite nulo:
    limntoinftybn =limntoinftyn+1n^2 =limntoinftyl(1n+1n^2r)=0
  2. Monotonicidade:
bn-bn+1 =n+1n^2-n+2(n+1)^2 =(n+1)^3-n^2(n+2)n^2(n+1)^2 =n^2+3n+1n^2(n+1)^2>0,
então bn é decrescente.
Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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