Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n cdot 1n+3

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,1n+3
O conteúdo aqui é séries alternadas, e vamos usar dois testes:
– Para convergência absoluta, analisamos sum|an|.
– Para convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz.

Passo 2

Para testar convergência absoluta, considere
sumn=1^inftyl|(-1)^n,tfrac1n+3r| =sumn=1^infty1n+3
Comparando com a série harmônica sum 1/n, sabemos que
sumn=1^infty1n+3
diverge (é equivalente à harmônica para n grande). Logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Para ver se a série converge condicionalmente, aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Defina
bn=1n+3
Observe que
  1. bn>0 para todo n.
  2. bn+1=tfrac1n+4<tfrac1n+3=bn, ou seja, (bn) é monótona decrescente.
  3. limntoinftybn=limntoinftytfrac1n+3=0.
    Pelos requisitos do critério de Leibniz, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n,bn
converge.

Resposta

A série não converge absolutamente e, pelo critério de Leibniz, converge condicionalmente.

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