Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a convergência da série
O conteúdo aqui é séries alternadas, e vamos usar dois testes:
– Para convergência absoluta, analisamos .
– Para convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz.
Passo 2
Para testar convergência absoluta, considere
Comparando com a série harmônica sum 1/n, sabemos que
sumn=1^infty1n+3
diverge (é equivalente à harmônica para n grande). Logo não há convergência absoluta.
Passo 3
Para ver se a série converge condicionalmente, aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Defina
bn=1n+3
Observe que
bn>0 para todo n.
bn+1=tfrac1n+4<tfrac1n+3=bn, ou seja, (bn) é monótona decrescente.
limntoinftybn=limntoinftytfrac1n+3=0.
Pelos requisitos do critério de Leibniz, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n,bn
converge.
Resposta
A série não converge absolutamente e, pelo critério de Leibniz, converge condicionalmente.