Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot nn^3+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma série infinita para analisar e descobrir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. A série é:
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot nn^3+1
Para isso, vamos precisar entender o que cada tipo de convergência significa e usar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional.
  • Convergência Absoluta: A série sum |an| converge. Ou seja, mesmo se a gente tirar o sinal negativo, a soma dá um número finito.
  • Convergência Condicional: A série original sum an converge, mas a série com os valores absolutos sum |an| não converge.
  • Divergência: A série não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 cdot nn^3+1 | = sumn=1^infty nn^3+1

Passo 4

Para saber se essa série de valores absolutos converge, podemos simplificar a fração:
nn^3+1 approx nn^3 = 1n^2
Já que para grandes valores de n , o n^3 domina o +1 .

Passo 5

Sabemos que a série sum 1n^2 é uma série p com p = 2 , e ela converge porque p > 1 . Então, por comparação, a nossa série sum nn^3 + 1 também converge absolutamente.

Passo 6

Agora que vimos que a série dos valores absolutos converge, não precisamos verificar a convergência condicional. Se uma série converge absolutamente, ela também converge normalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot nn^3+1 converge absolutamente.

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