Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma série infinita para analisar e descobrir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. A série é:
Para isso, vamos precisar entender o que cada tipo de convergência significa e usar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional.
Convergência Absoluta: A série converge. Ou seja, mesmo se a gente tirar o sinal negativo, a soma dá um número finito.
Convergência Condicional: A série original converge, mas a série com os valores absolutos não converge.
Divergência: A série não converge nem absolutamente nem condicionalmente.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Passo 4
Para saber se essa série de valores absolutos converge, podemos simplificar a fração:
nn^3+1 approx nn^3 = 1n^2
Já que para grandes valores de n , o n^3 domina o +1 .
Passo 5
Sabemos que a série sum 1n^2 é uma série p com p = 2 , e ela converge porque p > 1 . Então, por comparação, a nossa série sum nn^3 + 1 também converge absolutamente.
Passo 6
Agora que vimos que a série dos valores absolutos converge, não precisamos verificar a convergência condicional. Se uma série converge absolutamente, ela também converge normalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot nn^3+1 converge absolutamente.