Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_{0}; encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes).
(c) Calculando o wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)\left(x_{0}\right), mostre que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0, \quad x_{0}=0

Passo 1

Estamos buscando soluções em séries de potências em torno de x_{0}=0 para a equação
(1+x^{2})\,y''-4x\,y'+6y=0.
Como 1+x^{2} nunca anula em x=0, esse é um ponto ordinário. Vamos usar o método de série de potências: supor
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
calcular y' e y'', inserir na EDO e igualar coeficientes para obter uma relação de recorrência.

Passo 2

Escrevendo as derivadas:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1},\qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n-2}.
Substituindo em (1+x^{2})y''-4x\,y'+6y=0 e reorganizando em potências de x^{m}
\underbrace{\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}\,x^{m}}_{y''} +\underbrace{\sum_{m=0}^{\infty}m(m-1)a_{m}\,x^{m}}_{x^{2}y''} -\underbrace{\sum_{m=0}^{\infty}4m\,a_{m}\,x^{m}}_{-4x\,y'} +\underbrace{\sum_{m=0}^{\infty}6a_{m}\,x^{m}}_{6y} =0.
O coeficiente de x^{m} deve ser zero:
(m+2)(m+1)a_{m+2}+\bigl[m(m-1)-4m+6\bigr]a_{m}=0.
Como m(m-1)-4m+6=m^{2}-5m+6=(m-2)(m-3), a recorrência fica
a_{m+2}=-\frac{(m-2)(m-3)}{(m+2)(m+1)}\,a_{m},\quad m\ge0.

Passo 3

Duas séries independentes surgem escolhendo a constante livre a_{0} (solução par) ou a_{1} (solução ímpar).
Solução par a_{1}=0, a_{0} livre):
  • Para m=0: a_{2}=-\frac{(0-2)(0-3)}{2\cdot1}\,a_{0}=-3\,a_{0}. - Para m=2: a_{4}=-\frac{(2-2)(2-3)}{4\cdot3}\,a_{2}=0. - Todos os a_{2k} com k\ge2 são nulos.
    Escolhendo a_{0}=1, os quatro primeiros termos (até x^{3} são
y_{1}(x)=1+0\cdot x-3\,x^{2}+0\cdot x^{3}+\cdots=1-3x^{2}.
Solução ímpar ( a_{0}=0, a_{1} livre):
  • Para m=1: a_{3}=-\frac{(1-2)(1-3)}{3\cdot2}\,a_{1}=-\tfrac13\,a_{1}. - Para m=3: a_{5}=-\frac{(3-2)(3-3)}{5\cdot4}\,a_{3}=0. - Todos os a_{2k+1} com k\ge2 são nulos.
    Escolhendo a_{1}=1, os quatro primeiros termos são
y_{2}(x)=0\cdot x^{0}+1\cdot x+0\cdot x^{2}-\tfrac13\,x^{3}+\cdots =x-\tfrac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Para ver se y_{1} e y_{2} formam conjunto fundamental, calculamos o Wronskiano em x_{0}=0:
W(y_{1},y_{2})(x) =\begin{vmatrix} y_{1}(x)&y_{2}(x)\\[6pt] y_{1}'(x)&y_{2}'(x) \end{vmatrix}.
Em x=0 temos y_{1}(0)=1, y_{2}(0)=0, y_{1}'(x)=-6x y_{1}'(0)=0, y_{2}'(x)=1-x^{2} y_{2}'(0)=1. Logo
W(y_{1},y_{2})(0)=\begin{vmatrix}1&0\\\ 0&1\end{vmatrix}=1\neq0,
logo são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.]

Passo 5

Como na recorrência o numerador (m-2)(m-3) anula para m=2 e para m=3, todas as séries terminam e viram polinômios:
  • Em y_{1}: a_{2k}=0 para k\ge2.
  • Em y_{2}: a_{2k+1}=0 para k\ge2.
    Não há termo geral infinito, apenas
y_{1}(x)=1-3x^{2}, \qquad y_{2}(x)=x-\tfrac{x^{3}}{3}.

Resposta

y_{1}(x) =1- 3x^{2},\quad y_{2}(x)=x-\tfrac{ x^{3}{3}},\quad W( y_{1}, y_{2})(0) =1\neq0,
ambas são soluções polinomiais (as séries terminam).

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