Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_{0}; encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes).
(c) Calculando o wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)\left(x_{0}\right), mostre que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução. \left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0, \quad x_{0}=0
Passo 1
Estamos buscando soluções em séries de potências em torno de x_{0}=0 para a equação
(1+x^{2})\,y''-4x\,y'+6y=0.
Como 1+x^{2} nunca anula em x=0, esse é um ponto ordinário. Vamos usar o método de série de potências: supor
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
calcular y' e y'', inserir na EDO e igualar coeficientes para obter uma relação de recorrência.
Duas séries independentes surgem escolhendo a constante livre a_{0} (solução par) ou a_{1} (solução ímpar).
Solução par a_{1}=0, a_{0} livre):
Para m=0: a_{2}=-\frac{(0-2)(0-3)}{2\cdot1}\,a_{0}=-3\,a_{0}. - Para m=2: a_{4}=-\frac{(2-2)(2-3)}{4\cdot3}\,a_{2}=0. - Todos os a_{2k} com k\ge2 são nulos.
Escolhendo a_{0}=1, os quatro primeiros termos (até x^{3} são
Para m=1: a_{3}=-\frac{(1-2)(1-3)}{3\cdot2}\,a_{1}=-\tfrac13\,a_{1}. - Para m=3: a_{5}=-\frac{(3-2)(3-3)}{5\cdot4}\,a_{3}=0. - Todos os a_{2k+1} com k\ge2 são nulos.
Escolhendo a_{1}=1, os quatro primeiros termos são