1. A produção de uma certa fabrica é dada pela equação Q(K, L)=120 cdot k^2 / 3 cdot L^1 / 3 unidades, onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão de obra Em homens-horas.
    a) Calcule a produção se o capital imobilizado for de R 125.000,00 e o volume da mão de obra for 1,331 homem-hora.
    b) O que acontecerá com a produção do item (a) se o capital imobilizado e o volume da mão de obra forem reduzidos à metade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de produção que mostra como a quantidade produzida depende do capital investido ( K) e da mão de obra ( L). O enunciado diz:
Q(K, L) = 120 cdot K^2/3 cdot L^1/3
Aqui, K está em milhares de reais e L em homem-horas. Vamos precisar usar essa fórmula para calcular a produção nos casos pedidos. Bora lá!

Passo 2

Parte a) Queremos calcular a produção quando o capital imobilizado é de R$125.000,00 e a mão de obra é de 1.331 homem-horas.
Primeiro, vamos ajustar os valores para a fórmula:
  • Como está em milhares de reais, (porque R$125.000,00 = 125 mil).
  • homem-horas.
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Vamos calcular cada parte:
  1. Calcular :
    • é igual a , então:
  1. Calcular :
    • é igual a , então:
Agora, substituímos de volta na fórmula:
Então, a produção é de 33.000 unidades.

Passo 3

Parte b) Agora, queremos saber o que acontece com a produção se tanto o capital imobilizado quanto a mão de obra forem reduzidos à metade.
Vamos diminuir os valores pela metade:
  • Capital imobilizado: K' = 1252 = 62,5
  • Mão de obra: L' = 13312 = 665,5
Agora, aplicamos esses novos valores na fórmula de produção:
Q' = 120 cdot (62,5)^2/3 cdot (665,5)^1/3
Vamos simplificar:
  1. Calcular (62,5)^2/3:
    • 62,5 = 1252, então:
(62,5)^2/3 = (1252)^2/3 = 125^2/3 cdot 2^-2/3 = 25 cdot 2^-2/3 approx 25 cdot 0,63 = 15,75
  1. Calcular (665,5)^1/3:
    • Aproximadamente:
665,5^1/3 approx 8,77
Agora, substituímos de volta:
Q' = 120 cdot 15,75 cdot 8,77 approx 16.620
Mas, observando a função de produção, vemos que quando reduzimos K e L pela metade, a produção diminui pela metade também. Assim, de forma mais simples:
Q' = 33.0002 = 16.500

Resposta

a) A produção é de 33.000 unidades.
b) A produção diminui para 16.500 unidades quando o capital imobilizado e a mão de obra são reduzidos pela metade.

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