Use a integração por partes para resolver as integrais abaixo.
integral0^pi sen^3 x d x [Dica:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^pi sin^3 x , dx usando integração por partes. Esse tipo de integral faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre técnicas de integração. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sin^3 x de uma forma que facilite a aplicação da integração por partes. A dica sugere escrever sin^3 x como sin^2 x cdot sin x.
sin^3 x = sin^2 x cdot sin x

Passo 3

Sabemos que sin^2 x pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
sin^2 x = 1 - cos^2 x
Então, substituindo na integral:
integral0^pi sin^3 x , dx = integral0^pi (1 - cos^2 x) cdot sin x , dx

Passo 4

Agora, vamos aplicar a integração por partes. Lembre-se que a fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = 1 - cos^2 x Rightarrow du = 2 cos x sin x , dx
dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral (1 - cos^2 x) sin x , dx = (1 - cos^2 x)(- cos x) - integral (-cos x)(2 cos x sin x) , dx
Simplificando:
= -cos x + cos^3 x + 2 integral cos^2 x sin x , dx

Passo 6

Observamos que a integral integral cos^2 x sin x , dx pode ser resolvida por substituição. Seja:
w = cos x Rightarrow dw = -sin x , dx Rightarrow -dw = sin x , dx
Então:
integral cos^2 x sin x , dx = -integral w^2 , dw = -w^33 + C = -cos^3 x3 + C

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
-cos x + cos^3 x + 2 ( -cos^3 x3 ) = -cos x + cos^3 x - 23 cos^3 x = -cos x + 13 cos^3 x

Passo 8

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a pi:
[ -cos x + 13 cos^3 x ]0^pi
Calculando em x = pi:
-cos pi + 13 cos^3 pi = -(-1) + 13 (-1)^3 = 1 - 13 = 23
Calculando em x = 0:
-cos 0 + 13 cos^3 0 = -1 + 13 (1) = -1 + 13 = -23

Passo 9

Subtraindo os valores:
23 - ( -23 ) = 23 + 23 = 43

Resposta

A integral integral0^pi sin^3 x , dx resulta em 43.

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