Use a integração por partes para resolver as integrais abaixo.
integral raizx e^raizx d x [Dica: t=raizx ]

Passo 1

Então, bora resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular integral raizx , e^raizx , dx. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a integral é o produto de duas funções. A dica aqui é a substituição t = raizx. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: t = raizx. Isso significa que x = t^2. Agora, precisamos encontrar dx em termos de dt. Diferenciando ambos os lados em relação a t, temos:
dxdt = 2t Rightarrow dx = 2t , dt

Passo 3

Substituindo t = raizx e dx = 2t , dt na integral original, ficamos com:
integral raizx , e^raizx , dx = integral t , e^t cdot 2t , dt = 2 integral t^2 e^t , dt
Agora, a integral ficou mais simples: 2 integral t^2 e^t , dt.

Passo 4

Vamos aplicar a integração por partes nessa nova integral. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher u e dv. Vamos escolher:
u = t^2 Rightarrow du = 2t , dt dv = e^t , dt Rightarrow v = e^t

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula:
integral t^2 e^t , dt = t^2 e^t - integral e^t cdot 2t , dt = t^2 e^t - 2 integral t e^t , dt
Ainda temos uma integral para resolver: 2 integral t e^t , dt.

Passo 6

Vamos aplicar integração por partes novamente nessa nova integral. Escolhemos:
u = t Rightarrow du = dt dv = e^t , dt Rightarrow v = e^t

Passo 7

Aplicando a fórmula mais uma vez:
integral t e^t , dt = t e^t - integral e^t , dt = t e^t - e^t
Substituindo de volta na etapa anterior:
integral t^2 e^t , dt = t^2 e^t - 2 (t e^t - e^t) = t^2 e^t - 2t e^t + 2 e^t

Passo 8

Agora, voltando para a integral original:
2 integral t^2 e^t , dt = 2 (t^2 e^t - 2t e^t + 2 e^t) = 2t^2 e^t - 4t e^t + 4 e^t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Lembrando que fizemos a substituição t = raizx, vamos voltar para a variável original x:
2t^2 e^t - 4t e^t + 4 e^t + C = 2(raizx)^2 e^raizx - 4raizx e^raizx + 4 e^raizx + C
Simplificando:
2x e^raizx - 4raizx e^raizx + 4 e^raizx + C

Resposta

A integral vale 2x e^raizx - 4raizx , e^raizx + 4 , e^raizx + C, onde C é a constante de integração.

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