Use a integração por partes para resolver as integrais abaixo.
[Dica:
]
Passo 1
Então, bora resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular
. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a integral é o produto de duas funções. A dica aqui é a substituição
. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Agora, a integral ficou mais simples:
.
Passo 4
Vamos aplicar a integração por partes nessa nova integral. A fórmula da integração por partes é:
Precisamos escolher
e
. Vamos escolher:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula:
Ainda temos uma integral para resolver:
.
Passo 6
Vamos aplicar integração por partes novamente nessa nova integral. Escolhemos:
Passo 7
Aplicando a fórmula mais uma vez:
Substituindo de volta na etapa anterior:
Passo 8
Agora, voltando para a integral original:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a variável original
:
Simplificando:
Resposta
A integral vale
, onde
é a constante de integração.