Para a produção de suco de laranja concentrado, após a extração do óleo essencial e da polpa, o suco clarificado com
de sólidos é enviado para a pasteurização (contracorrente com água entrando a
e saindo a
). O suco clarificado entra a uma vazão mássica de
a
é é pasteurizado a
. Sabe-se que
do suco pasteurizado seguem para o evaporador onde o suco é concentrado até
de sólidos (com vapor a
, calor latente de condensação de
), enquanto
restante é enviado ao tanque de mistura. A mistura das duas correntes resulta no suco de laranja a ser comercializado.
Encontre a sensibilidade da área do evaporador com relação a uma incerteza na fração mássica do suco pasteurizado no equipamento e a uma incerteza na temperatura de entrada do suco.
Encontre a sensibilidade da área do evaporador com relação a uma incerteza na fração mássica do suco pasteurizado no equipamento e a uma incerteza na temperatura de entrada do suco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre produção de suco de laranja concentrado. A gente vai trabalhar com balanços de massa e energia, além de conceitos de transferência de calor. Precisamos entender como as diferentes correntes de suco se comportam no processo e, no final, descobrir quão sensível é a área do evaporador diante de algumas incertezas nos parâmetros do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos resumir o que está acontecendo no processo:
- Suco Clarificado: Tem 14% de sólidos, entra com uma vazão de 1200 kg/h a 22°C.
- Pasteurização: O suco é aquecido até 88°C usando água que entra a 95°C e sai a 60°C.
- Divisão após Pasteurização:
- 3/4 vão para o evaporador, onde são concentrados até 66% de sólidos.
- 1/4 vão para o tanque de mistura.
- Evaporador: Utiliza vapor a 110°C com calor latente de condensação de 2225 kJ/kg.
- Mistura Final: As duas correntes se misturam para formar o suco comercializado.
Vamos precisar calcular os balanços de massa e energia para entender como cada parte do processo contribui para o todo e, assim, determinar a área do evaporador.
Passo 3
Vamos começar com balanços de massa. Sabemos que a massa total de suco que entra na pasteurização é 1200 kg/h. Depois da pasteurização, 3/4 desse total vão para o evaporador e 1/4 para o tanque de mistura.
- Vazão para o evaporador: $ \frac{3}{4} \times 1200 , kg/h = 900 , kg/h $
- Vazão para o tanque de mistura: $ \frac{1}{4} \times 1200 , kg/h = 300 , kg/h $
Agora, no evaporador, os 900 kg/h de suco são concentrados até 66% de sólidos. Isso significa que a quantidade de sólidos no evaporador aumenta.
Passo 4
Vamos aos balanços de energia. Precisamos calcular a quantidade de calor necessária para aquecer o suco na pasteurização e, depois, para evaporar a água no evaporador.
Pasteurização:
- Suco entra a 22°C e sai a 88°C.
- Vamos usar a fórmula do calor: $ Q = m \cdot c \cdot \Delta T $
Onde:
- $ m $ é a massa (1200 kg/h)
- $ c $ é a capacidade térmica do suco (vamos assumir $ c = 4 , kJ/kg°C $)
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura (88°C - 22°C = 66°C)
Então:
$ Q_{pasteurização} = 1200 \times 4 \times 66 = 316800 , kJ/h $
$ Q_{pasteurização} = 1200 \times 4 \times 66 = 316800 , kJ/h $
Evaporação:
- Precisamos calcular a quantidade de água que será evaporada para concentrar o suco de 14% para 66% de sólidos.
- Vamos assumir que a massa de sólidos permanece constante.
Quantidade de sólidos inicialmente: $ 900 \times 0,14 = 126 , kg/h $
Após a concentração: $ \frac{126}{0,66} \approx 190,91 , kg/h $
Então, a massa total após evaporação: 190,91 kg/h
Portanto, a massa de água evaporada: $ 900 - 190,91 = 709,09 , kg/h $
Portanto, a massa de água evaporada: $ 900 - 190,91 = 709,09 , kg/h $
Agora, calculamos o calor necessário para evaporar essa água:
$ Q_{evaporação} = 709,09 \times 2225 \approx 1.578.409 , kJ/h $
$ Q_{evaporação} = 709,09 \times 2225 \approx 1.578.409 , kJ/h $
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o calor necessário no evaporador com a área do evaporador. Usamos a fórmula de transferência de calor:
$ Q = U \cdot A \cdot \Delta T $
Onde:
- $ Q $ é o calor transferido (1.578.409 kJ/h)
- $ U $ é o coeficiente global de transferência de calor (vamos assumir 500 kJ/h·m²·°C)
- $ A $ é a área do evaporador que queremos encontrar
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura média (vamos assumir 10°C)
Rearranjando a fórmula para encontrar $ A $:
$ A = \frac{Q}{U \cdot \Delta T} = \frac{1.578.409}{500 \times 10} = 315,68 , m² $
Passo 6
Agora, vamos fazer a análise de sensibilidade. Queremos ver como a área do evaporador ($ A
f
T_{entrada} $).
A fórmula que relaciona $ A $ com $ f $ e $ T_{entrada} $ é:
$ A = \frac{Q}{U \cdot \Delta T} $
Onde $ Q $ depende de $ f $ e $ T_{entrada} $ porque:
- $ Q $ aumenta com $ f $ (mais suco significa mais calor necessário)
- $ Q $ também pode depender da temperatura de entrada, afetando $ \Delta T $
Para encontrar a sensibilidade, calculamos as derivadas parciais:
-
Sensibilidade em relação a $ f $:
$ \frac{\partial A}{\partial f} = \frac{1}{U \cdot \Delta T} \cdot \frac{\partial Q}{\partial f} $ -
Sensibilidade em relação a $ T_{entrada} $:
$ \frac{\partial A}{\partial T_{entrada}} = \frac{1}{U \cdot \Delta T} \cdot \frac{\partial Q}{\partial T_{entrada}} $
Essas derivadas nos mostram como uma pequena variação em $ f $ ou $ T_{entrada} $ impacta a área $ A $.
Resposta
A sensibilidade da área do evaporador em relação à fração mássica do suco pasteurizado e à temperatura de entrada é determinada pelas derivadas parciais:
-
Sensibilidade em relação à fração mássica ($ f $):
$ \frac{\partial A}{\partial f} = \frac{1}{U \cdot \Delta T} \cdot \frac{\partial Q}{\partial f} $ -
Sensibilidade em relação à temperatura de entrada ($ T_{entrada} $):
$ \frac{\partial A}{\partial T_{entrada}} = \frac{1}{U \cdot \Delta T} \cdot \frac{\partial Q}{\partial T_{entrada}} $
Isso significa que a área do evaporador aumentará ou diminuirá proporcionalmente às mudanças na fração mássica e na temperatura de entrada, dependendo dos coeficientes de transferência de calor e das variações de temperatura.